Versie Oliver Byrne
Als de eerste hoeveelheid dezelfde veelvoud van de tweede is
als de derde is van de vierde en
de eerste dezelfde veelvoud van de tweede als de vijfde van de vierde,
dan is de eerste samen met de vijfde dezelfde veelvoud van de tweede als
de derde samen met de zesde is van de vierde.
Laat 
, de eerste, dezelfde veelvoud van , de tweede, zijn
als 
, de derde, is van , de vierde.
En laat 
, de vijfde, dezelfde veelvoud van , de tweede, zijn
als 
, de zesde, is van , de vierde.
Dan is duidelijk dat , de eerste en vijfde samen,
dezelfde veelvoud van , de tweede, is
als , de derde en zesde samen,
is van , de vierde.
Immers, in zijn net zoveel veelvouden van
als in van .
Dus als de eerste hoeveelheid, enzovoort...
Neem a en b,
alsmede p ⋅ a, p ⋅ b, q ⋅ a en q ⋅ b.
Nu geldt:
p ⋅ a + q ⋅ a = (p + q) ⋅ a en
p ⋅ b + q ⋅ b = (p + q) ⋅ b.
Dat zijn gelijke veelvouden van a en b.
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als 
dezelfde veelvoud van 
is als 
van 
,
en 
ook dezelfde veelvoud is van als 
van ,
dan is de som van en ook dezelfde veelvoud van als
de som van en is van .
Daar dezelfde veelvoud van is als van ,
moeten er evenveel in passen als in
(def 2 uit Boek V).
Om dezelfde reden past net zo vaak in als in .
Daarom bevat 
net zo vaak als 
bevat.
Dus is dezelfde veelvoud van als van .
Oftewel, de som van en is dezelfde veelvoud van als
de som van en is van .
Daarom geldt: Als een eerste getal enzovoort.