Propositie 4 Stelling

Versie Oliver Byrne

Als de eerste van vier getallen dezelfde verhouding heeft tot de tweede als
de derde heeft tot de vierde,
dan heeft een gelijke willekeurige veelvoud van de eerste en de derde
dezelfde verhouding tot
een andere gelijke willekeurige veelvoud van de tweede en de vierde.
De gelijke veelvoud van de eerste heeft dezelfde verhouding tot
die van de tweede als
de gelijke veelvoud van de derde heeft tot die van de vierde.

 

Laat gerond : zw4kant = roruit : bl5hoek, dan 3 gerond : 2 zw4kant = 3 roruit : 2 bl5hoek.

Iedere gelijke veelvoud van 3 gerond en 3 roruit is
een gelijke veelvoud van gerond en roruit.
En iedere gelijke veelvoud van 2 zw4kant en 2 bl5hoek is
een gelijke veelvoud van zw4kant en bl5hoek (prop 3 uit Boek V).


Dit betekent dat M keer 3 gerond en M keer 3 roruit
gelijke veelvouden zijn van gerond en roruit.

En m keer 2 zw4kant en m keer 2 bl5hoek zijn gelijke veelvouden van zw4kant en bl5hoek.


Nu geldt: gerond : zw4kant = roruit : bl5hoek (hyp).

Dus als M 3 gerond >, = of < m 2 zw4kant,
dan M 3 roruit >, = of < m 2 bl5hoek (def 5 uit Boek V).


En daarom geldt: 3 gerond : 2 zw4kant = 3 roruit : 2 bl5hoek (def 5 uit boek V).


Dezelfde redenatie geldt als
een andere gelijke veelvoud van de eerste en derde wordt genomen en
weer een andere gelijke veelvoud van de tweede en de vierde.


Dus als de eerste van vier hoeveelheden, enzovoort.

Als a : b = c : d
dan M a : m b = M c : m d

Want
als a/b = c/d
dan M/m ⋅ a/b = M/m ⋅ c/d,
dus M ⋅ a/m ⋅ b = M ⋅ c/m ⋅ d

Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne

Als ro lijn tot ge lijn dezelfde verhouding heeft als bl lijn tot zw lijn,
dan hebben willekeurige gelijke veelvouden van ro lijn en bl lijn ook dezelfde verhouding tot een andere willekeurige gelijke veelvoud van ge lijn en zw lijn.


Neem gelijke veelvouden ro ptlijn en bl ptlijn van ro lijn en bl lijn.
En neem andere gelijke veelvouden ge ptlijn en zw ptlijn van ge lijn en zw lijn.


Neem dan gelijke veelvouden ro dlijn en bl dlijn van ro ptlijn en bl ptlijn.
En neem andere gelijke veelvouden ge dlijn en zw dlijn van ge ptlijn en zw ptlijn.


Daar ro ptlijn dezelfde veelvoud van ro lijn is als bl ptlijn van bl lijn en
gelijke veelvouden ro lijn en bl dlijn van ro ptlijn en bl ptlijn zijn genomen,
moet ro dlijn dezelfde veelvoud van ro lijn zijn als bl dlijn van bl lijn
(def 3 uit Boek V).

Om dezelfde reden is ge dlijn dezelfde veelvoud van ge lijn als zw dlijn van zw lijn.


En daar ro lijn : ge lijn = bl lijn : zw lijn,
en gelijke veelvouden ro dlijn en bl dlijn van ro lijn en bl lijn genomen zijn,
en andere gelijke veelvouden ge dlijn en zw dlijn van ge lijn en zw lijn zijn genomen,
moet gelden: als ro dlijn >, = of < bl dlijn,
dan ge dlijn >, = of < zw dlijn (def 5 uit Boek V).


En ro dlijn en bl dlijn zijn gelijke veelvouden van ro ptlijn en bl ptlijn
en ge dlijn en zw dlijn zijn andere gelijke veelvouden van bl ptlijn en zw ptlijn.
Dus ro ptlijn : ge ptlijn = bl ptlijn : zw ptlijn (def 5 uit Boek V).


Daarom geldt: Als ro lijn tot ge lijn dezelfde verhouding enzovoort.

Figuur propositie 4

vorige / volgende