De Elementen van Euclides

De eerste zes boeken

Naar het boek van Oliver Byrne uit 1847

Jeanine Daems besprak dit boek in Pythagoras van november 2014

.

Euclides zette met zijn Elementen zo'n 300 jaar voor Christus het werk van Hippocrates voort. Ook Teaetetus en Eudoxus hebben aan elementen gewerkt. Verschillende versies van dit werk zijn gevonden. Vaak zijn ze voorzien van commentaren en wijzigingen. Hierdoor is de oorspronkelijke tekst niet te achterhalen.
Elementen zijn een systeem van op axioma's berustende stellingen, hier proposities genoemd. Nieuwe bewijzen zijn gebaseerd op wat daarvoor al als waar is aangenomen en wat al is bewezen. Net als wanneer een kind keer op keer op keer vraagt 'waarom?', is het op een gegeven moment niet meer mogelijk antwoord te geven. Dan moet je iets aannemen om de rest van het bouwwerk op te stutten. Dus voordat de eerste stelling bewezen kan worden is een basis nodig en daarom zijn eerst axioma's, algemene inzichten en definities gegegeven. Ook zijn postulaten geformuleerd. Behalve stellingen bevat de elementen ook constructies met passer en liniaal, waarbij bewezen is waarom de constructie het beoogde doel bereikt.
Op de gebruikte termen ga ik hieronder nog in. Byrne geeft in zijn boek een uitgebreide introductie en verantwoording. Achterin het boek is bovendien een uitgebreidere toelichting op het werk opgenomen.

De Griekse teksten zijn voor het maken van deze website niet ingezien. De boeken zijn vertaald uit het Engels, maar niet alles letterlijk. Voor de vertaling heb ik ondermeer gebruik gemaakt van de vertaling in het Engels door Heath (Euclid's Elements, all thirteen books complete in one volume, The Thomas L. Heath Translation, Green Lion Press, Santa Fe, New Mexico, 2013). Verder is gebruik gemaakt van de volgende websites:

Overigens is ook een pdf van het boek te gebruiken.

Voor vertaling en aanpassing van de teksten gebruik ik de volgende uitgangspunten:

Deze site is vooral gericht op leerlingen van havo en vwo. Zij kunnen de site gebruiken als achtergrondinformatie bij hetgeen zij op school leren. Zo zijn hier bewijzen te vinden voor de gelijkheid van overstaande hoeken, F-hoeken en Z-hoeken en de som van de hoeken in een driehoek. Ook de stelling van Pythagoras wordt bewezen, maar daarvoor zijn toegankelijker bewijzen beschikbaar. Ook wordt stof voor de bovenbouw van havo en vwo behandeld.
Verder kunnen hun docenten zich laten inspireren voor een link met de wiskunde van Euclides. En uiteraard is de tekst ook te gebruiken voor andere liefhebbers van de wiskunde. De site richt zich niet op wetenschappelijk gebruik. Daarvoor zijn andere, veelal engelstalige sites, meer geschikt.

De uitgangspunten betekenen dat waar nodig is afgeweken van een (te) letterlijke vertaling van Byrne. In veel gevallen behoeven zowel de terminologie als bijvoorbeeld de zinslengte aanpassing om tot een vlot te begrijpen tekst te komen. Als hulpmiddel om de tekst toegankelijk te maken heb ik gebruik gemaakt van voornoemde sites. Ondermeer bij de definities is getracht zowel de Engelse versie van Heath als een Nederlandse versie te geven. Voor meer wetenschappelijke verhandelingen zijn andere bronnen beschikbaar (zie om te beginnen genoemde websites). Het is nadrukkelijk niet de bedoeling de talloze (wetenschappelijke) discussies over het geheel of onderdelen in deze site samen te vatten. Wel is aangegeven welke koppelingen met het huidige lesprogramma bestaan.

Heath geeft als toelichting dat Euclides de postulaten, axioma's en defnities als een lopend verhaal heeft beschreven. Ze zijn pas later van elkaar onderscheiden en ingedeeld. En Van Schooten geeft aan dat in de 17e eeuw twaalf "algemene inzichten" werden gebruikt, gebaseerd op Griekse manuscripten uit de 4e eeuw. In de moderne literatuur worden er vijf gebruikt, zoals in een ouder manuscript dat in 1810 is gevonden. Hierdoor volgen niet al mijn bronnen dezelfde indeling en nummering.
Voor de volgorde en nummering van postulaten, axioma's, definities en proposities volg ik zoveel als mogelijk het boek van Byrne, behalve voor Boek V; daar ga ik voor de definities uit van de nummering van Heath. Ook voor de indeling en benoeming volg ik Byrne. Wat Byrne postulaten noemt worden ook wel axioma's genoemd. Hogendijk geeft aan dat de letterlijke vertaling 'eisen' is. En wat Byrne axioma's noemt, noemt Heath common notions en in het Nederlands wordt vaak algemene inzichten gebruikt (Van Schooten, Hogendijk en site van ruG). Dit zijn filosofische uitgangspunten (site Math4all.nl).

In de bewijzen van proposities is veelal de lengte of het oppervlak van belang. Dat maakt het ook mogelijk ze te vergelijken (korter, langer of even lang danwel kleiner, groter of gelijk). Daarom is veelal sprake van wat nu in het voortgezet onderwijs een lijnstuk (def 2, def 3 en def 4) genoemd wordt. Via postulaat 2 zijn lijnstukken tot (halve) lijnen te verlengen. Lijnen hebben geen lengte of zijn oneindig lang. Bovendien wordt gesproken van uiteinden en grenzen van lijnstukken en oppervlakken (def 3 en def 6), maar lijnen en vlakken in de huidige wiskunde niet.

Met name in Boek V, maar ook de proposities 27, 28 en 29 uit Boek VI, zijn de bewijzen door Byrne anders gepresenteerd dan in de Elementen in andere vertalingen die ik heb geraadpleegd. Daar heb ik behalve de weergave van Byrne ook de weergave van Joyce gegeven. Die laatste heb ik dan wel de bewijzen op soortgelijke wijze gepresenteerd als Byrne.

De tekeningen van Byrne zijn omgezet naar figuren gemaakt met Geogebra. Zoveel als mogelijk zijn dezelfde figuren gemaakt, opgebouwd volgens de proposities. Op papier kon Byrne slechts een weergave geven n situatie die voldoet aan de voorwaarden van de propositie of het probleem. Met Geogebra is een dynamische weergave gemaakt, zodat ook andere situaties die aan de voorwaarden voldoende in beeld te brengen zijn. Bij de problemen, constructies, kunnen de verschillende stappen gevolgd worden. De geogebrabestanden zijn via de link onder de illustraties te downloaden en desgewenst voor eigen gebruik aan te passen.

Deze site is gemaakt door html uit te schrijven en de animaties zijn vanuit Geogebra gekopieerd en als script in html opgenomen. Het uiterlijk is beoordeeld in Firefox, op een scherm met een resolutie van 1366 x 768.

Deze site is gemaakt door Jeanne Kok in het kader van de opleiding tot tweedegraads docent wiskunde aan de Hogeschool Windesheim. Het werk is begeleid door Ines Huki en medebeoordeeld door Marjan van der Vegt.
Eind jaren zeventig is een aardig deel van deze stof in de onderbouw van het vwo aan mij geleerd. Voor zover ik dat herken ging dat vooral om Boek I en Boek V. Mijn leraar van toen, de heer Koster aan de Rijksscholengemeenschap te Gouda, gebruikte hiervoor zijn eigen stencils. Mocht iemand nog over deze stencils beschikken dan houd ik mij aanbevolen voor een kopie daarvan.