Versie Oliver Byrne
Als twee hoeveelheden gelijke veelvouden van twee andere zijn en
als gelijke veelvouden hiervan worden genomen van de eerste twee,
dan zijn de resten ofwel gelijk aan die andere of gelijke veelvouden ervan.
|
 |
|
|
|
|
Verder geldt: 
− m'
= M' = m'
= (M' - m') .
Oftewel, (M' - m') 
en (M' - m') zijn gelijke veelvouden van en .
En als M' - m' = 1 geldt: = .
Dus als twee hoeveelheden gelijke veelvouden, enzovoort.
Als a = p b en c = p d
dan zijn a − q b en c − q d veelvouden van of gelijk aan b en d
Want
als a = p b en c = p d
dan a − q b = p b − q b = (p − q) b en
c − q d = p d − q d = (p − q) d
dus a − q b en c − q d zijn veelvouden van b en d
en als p − q = 1 zijn ze gelijk aan b en d.
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als 
en 
gelijke veelvouden van 
en 
zijn,
en 
en 
, die daarvan worden afgetrokken,
ook gelijke veelvouden van en zijn,
dan zijn de restanten (
en 
)
ofwel gelijk aan elkaar ofwel weer gelijke veelvouden van en .
Maak 
= .
Daar dezelfde veelvoud van is als van ,
terwijl = en = ,
moet dezelfde veelvoud van zijn als 
is van
(prop 2 uit Boek V).
Verder geldt: is dezelfde veelvoud van als is van .
Dus is dezelfde veelvoud van als is van (hyp).
Nu moet = .
Trek af van beide. Dan is het restant = het restant .
Verder geldt: = en daarom = .
Dus als = , dan = .
Op dezelfde wijze is te bewijzen dat als een veelvoud van is,
dezelfde veelvoud van is.
Daarom geldt: Als en gelijke veelvouden enzovoort.