Versie Oliver Byrne
Als een aantal hoeveelheden gelijke veelvouden zijn van evenveel andere hoeveelheden,
elk van elk:
dan is de veelvoud die de eerste is van zijn deel dezelfde veelvoud als
de veelvoud van de eerste hoeveelheden samen is van alle andere hoeveelheden samen.
Laat 
dezelfde veelvoud zijn van
als 
is van
en 
is van .
| |
|
|||
Dan is evident dat |
dezelfde veelvoud is van |
, |
||
als is van .
Want er zijn evenveel hoeveelheden van in
|
||
|
||
= |
||
als er zijn van in .
Dezelfde demonstratie als is toegepast op drie hoeveelheden
houdt stand voor elk ander aantal hoeveelheden.
Dus als een aantal hoeveelheden enzovoort.
QED
Neem a, b, c enzovoort en
gelijke veelvouden hiervan: p ⋅ a, p ⋅ b, p ⋅ c enzovoort.
Dan is p ⋅ a + p ⋅ b + p ⋅ c + ... = p ⋅ (a + b + c + ...).
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als een aantal getallen 
en 
ieder dezelfde veelvoud is van 
en 
,
dan is de som van de veelvouden, en ,
dezelfde veelvoud van de som van de andere getallen, en ,
als is van .
Oftewel, omdat dezelfde veelvoud van is als is van ,
moet 
net zo vaak in 
passen als in (def 2 uit Boek V).
Verdeel in delen gelijk aan
en verdeel in delen gelijk aan .
Dan is het aantal keer dat past gelijk aan het aantal keer dat past.
Omdat ieder deel van gelijk is aan en
ieder deel van gelijk is aan ,
moet de som van een deel van en een deel van gelijk zijn
aan de som van en .
Daar het aantal keren dat past in gelijk is aan
het aantal keren dat past in ,
moeten evenveel delen van = ontstaan.
Dus moet net zo vaak in passen als in .
Daarom geldt: Als een aantal getallen enzovoort.