Versie Oliver Byrne

Als de eerste hoeveelheid dezelfde veelvoud is van de tweede
als de derde is van de vierde en
de eerste dezelfde veelvoud van de tweede is als de vijfde van de vierde,
dan is de eerste samen met de vijfde dezelfde veelvoud van de tweede als
de derde samen met de zesde is van de vierde.

Laat , de eerste, dezelfde veelvoud van , de tweede, zijn
   als , de derde, is van , de vierde.

En laat , de vijfde, dezelfde veelvoud van , de tweede, zijn
   als , de zesde, is van , de vierde.

Dan is duidelijk dat , de eerste en vijfde samen,
   dezelfde veelvoud van , de tweede, is

als , de derde en zesde samen,
   is van , de vierde.

Immers, in zijn net zoveel veelvouden van
als in van .

Dus als de eerste hoeveelheid, enzovoort...

Neem a en b,
alsmede p ⋅ a, p ⋅ b, q ⋅ a en q ⋅ b.

Nu geldt:
p ⋅ a + q ⋅ a = (p + q) ⋅ a en
p ⋅ b + q ⋅ b = (p + q) ⋅ b.
Dat zijn gelijke veelvouden van a en b.

Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne

Als dezelfde veelvoud van is als van ,
en ook dezelfde veelvoud is van als van ,
dan is de som van en ook dezelfde veelvoud van als
de som van en is van .

Daar dezelfde veelvoud van is als van ,
moeten er evenveel in passen als in
(def 2 uit Boek V).

Om dezelfde reden past net zo vaak in als in .
Daarom bevat net zo vaak als bevat.

Dus is dezelfde veelvoud van als van .

Oftewel, de som van en is dezelfde veelvoud van als
som van en is van .

Daarom geldt: Als een eerste getal enzovoort.

Figuur propositie 2

vorige / volgende