h

k

m

n

s

A

B,

C

D,

E

F,

G

H,

K

L,

M

N

a

b

c

d

e

f

g

O

P,

Q

R,

S

T,

V

W,

X

Y

h

k

l

m

n

p

a

b

c

d

e

f

g

Laat A : B, C : D, E : F, G : H, K : L, M : N, de eerste ratio's zijn,
en O : P, Q : R, S : T, V : W, X : Y, de andere ratio's.

En laat

A : B

=

a : b,

C : D

=

b : c,

E : F

=

c : d,

G : H

=

d : e,

K : L

=

e : f,

M : N

=

f : g.

Dan, gezien de definitie van samengestelde ratio's,
is de ratio van a : g samengesteld uit
de ratio's a : b, b : c, c : d, d : e, e : f en f : g,
één op één gelijk aan de ratio's van A : B, C : D, E : F, G : H, K : L en M : N.

Laat ook:

O : P

=

h : k,

Q : R

=

k : l,

S : T

=

l : m,

V : W

=

m : n,

X : Y

=

n : p,

Dan zal de ratio h : p de ratio zijn
die is samengesteld uit de ratio's h : k, k : l, l : m, m : n en n : p,
die één op één gelijk zijn aan de ratio's van O : P, Q : R, S : T, V : W en X : Y.

Dus vanwege de hypothese geldt: a : g = h : p.

Laat ook de ratio die is samengesteld uit de ratio's van A : B en C : D,
twee van de eerste ratio's
(of de ratio's van a : c, want A : B = a : b en C : D = b : c),
hetzelfde zijn als de ratio's a : d,
die is samengesteld uit de ratio's van a : b, b : c en c : d,
die gelijk zijn aan de ratio's van O : P, Q : R en S : T, drie van de andere ratio's.

En laat de ratio h : s, die is samengesteld uit de ratio's van h : k, k : m, m : n en n : s,
die hetzelfde zijn als de resterende eerste ratio's,
namelijk E : F, G : H, K : L en M : N;
laat ook de ratio van e : g,
die is samengesteld uit de ratio's van e : f en f : g,
die één op één gelijk zijn aan de andere resterende ratio's V : W en X : Y.
Dan zal de ratio van h : s gelijk zijn aan de ratio van e : g of h : s = e : g.

Want

_{^{A x C x E x G x K x M}/B x D x F x H x L x N} = _{^{a x b x c x d x e x f}/b x c x d x e x f x g},

en

_{^{O x Q x S x V x X}/P x R x T x W x Y} = _{^{h x k x l x m x n}/k x l x m x n x p}

vanwege de samenstelling van de ratio's;

dus

_{^{a x b x c x d x e x f}/b x c x d x e x f x g} = _{^{h x k x l x m x n}/k x l x m x n x p} (hyp),

of

_{^{a x b}/b x c} x _{^{c x d x e x f}/b x c} = _{^{h x k x l}/k x l x m} x _{^{m x n}/n x p},

maar

_{^{a x b}/b x c} = _{^{A x C}/B x D} = _{^{O x Q x S}/P x R x T} = _{^{a x b x c}/b x c x d} = _{^{h x k x l}/k x l x m};

dus

_{^{c x d x e x f}/b x c} = _{^{m x n}/n x p}.

En

_{^{c x d x e x f}/d x e x f x g} = _{^{h x k x m x n}/k x m x n x s} (hyp)

en

_{^{m x n}/n x p} = _{^{e x f}/f x g} (hyp)

dus

_{^{h x k x m x n}/k x m x n x s} = _{^{e x f}/f x g},

dus

_^h/s = _^e/g,

dus h : s = e : g.