Wat te bewijzen is (1) (17-4, juni 1998)

Is het mogelijk een vierkant tegelpatroon te maken, zó dt dit 'eerlijk' gedeeld kan worden in twee kleinere vierkanten? Deze vraag beantwoordt Martin Kindt in de eerste aflevering van de rubriek. De conclusie is dat \(\sqrt{2}\) niet te schrijven is als breuk.

Wat te bewijzen is (2) (18-1, september 1998)

Een getal is deelbaar door 3, als (en alleen als) de som van de cijfers deelbaar is door 3. En dat hangt af van de kleur van dat getal.

Wat te bewijzen is (3) (18-2, december 1998)

Zwaartelijnen snijden elkaar in stukken die zich verhouden als \(2 : 1\). Martin Kindt bewijst dit direct met oppervlakten.

Wat te bewijzen is (4) (18-3, maart 1999)

De som van de afstanden van een punt binnen (of op de rand van) een gelijkzijdige driehoek tot de zijden van die driehoek is gelijk aan de lengte van een hoogtelijn van die driehoek, ongeacht de plaats van dat punt. Martin Kindt brengt dit in verband met optimaliseren.

Wat te bewijzen is (5) (18-4, juni 1999)

Een generalisatie van de stelling van Pythagoras. Als hoek C een rechte hoek is, is \(c^2\) gelijk aan \(a^2 + b^2\). Als hoek C kleiner is, dan is \(c^2\) kleiner en als hoek C groter is, dan is \(c^2\) groter. De vraag hoe groot het verschil is, is te beantwoorden na deze aflevering.

Wat te bewijzen is (6) (19-1, oktober 1999)

\(3^2 + 4^2 = 5^2\). Dat is bekend. Het houdt ook verband met driehoeksgetallen. Dat is minder bekend. Hoe dat zit legt Martin Kindt uit.

Wat te bewijzen is (7) (19-2, december 1999)

Hoe geef je een toegankelijke verklaring voor de formule voor de inhoud van een piramide? Daarvoor geeft Kindt een verklaring zonder dunne schijven die dezelfde inhoud hebben. In aflevering 8 werd dit vervolgd met een verklaring voor de formule voor de inhoud van een bol.

Wat te bewijzen is (8) (19-3, maart 2000)

Wat te bewijzen is (9) (19-4, juni 2000)

XXX

Wat te bewijzen is (10) (20-1, september 2000)

XXX

Wat te bewijzen is (11) (20-2, december 2000)

XXX

Wat te bewijzen is (12) (20-3, april 2001)

XXX

Wat te bewijzen is (13) (20-4, juni 2001)

XXX

Wat te bewijzen is (14) (21-1, september 2001)

Enkele bewijzen van de rechte van Euler.

Wat te bewijzen is (15) (21-2, december 2001)

Over de opppervlakte van driehoeken, formules en het bewijs van Heron.

Wat te bewijzen is (16) (21-3, maart 2002)

Over de cosinusregel en de rechte van Wallace.

Wat te bewijzen is (17) (21-4, juni 2002)

Vier punten met zo min mogelijk 'touw' verbinden. Knoop je dan die vier touwen in één knooppunt samen, of is er een betere oplossing? Martin Kindt bewijst dat een Steiner-net met twee knooppunten gunstiger is.

Wat te bewijzen is (18) (22-1, september 2002)

Alle niet te vereenvoudigen breuken tussen 0 en 1 genereren door 'naïef optellen'. Het is mogelijk en Martin Kindt bewijst dat.

Wat te bewijzen is (19) (22-2, december 2002)

Isoperimetrische problemen: met een koord van gegeven lengte een zo groot mogelijke rechthoekige opppervlakte omspannen. Martin Kindt bewijst dat de optimale n-hoek een gelijkzijdige n-hoek is.

Wat te bewijzen is (20) (22-3, maart 2003)

Over permutaties en polynomen.

Wat te bewijzen is (21) (22-4, juni 2003)

En als je dat niet doet? Dürer was zo iemand. Martin Kindt laat het bewijs van propositie 10 van Euclides herleven en bewijst dat meetkunde zonder bewijzen foute constructies kan opleveren.

Wat te bewijzen is (22) (23-1, september 2003)

XXX

Wat te bewijzen is (23) (23-2, december 2003)

Waarin de stelling van Ceva gebruikt wordt om de stelling van Routh te bewijzen en waarin Martin Kindt u een blik gunt in zijn vakantielectuur.

Wat te bewijzen is (24) (23-3, maart 2004)

De stelling van Ceva (aflevering 23 van deze rubriek) wordt vaak in één adem genoemd met de stelling van Menelaos. Deze is dan ook in deze aflevering aan de beurt.

Wat te bewijzen is (25) (23-4, juni 2004)

Priemgetallen, Euclides, Eratosthenes - en toch actueel!

Wat te bewijzen is (26) (24-1, september 2004)

Trapezium en 'tussenparallellen'.

Wat te bewijzen is (27) (24-2, december 2004)

De oppervlakte van een kokinje.

Wat te bewijzen is (28) (24-3, maart 2005)

Het bijzondere getal 28.

Wat te bewijzen is (29) (24-4, juni 2005)

Je hebt wel eens zien tennissen. De bal maakt een boog door de lucht. Dat gebeurt bij andere sporten ook wel! Kun je zo'n boog tekenen met een rechte liniaal?

Wat te bewijzen is (30) (25-1, september 2005)

De aflevering uit het nummer ter gelegenheid van 100 jaar Freudenthal.

Wat te bewijzen is (31) (25-2, december 2005)

Een mooie, maar niet zo bekende, eigenschap van de hyperbool is dat het raakpunt van een willekeurige raaklijn aan een hyperbool het midden is van het lijnstuk dat door het paar asymptoten van die raaklijn wordt afgesneden.

Wat te bewijzen is (32) (25-3, maart 2006)

Hoeveel vierkanten bevat een dambord?

Wat te bewijzen is (33) (25-4, juni 2006)

Wat voor een kromme beschrijft het middelpunt van een stijl van een tegen een muur staande ladder met wieltjes als deze ladder naar beneden rolt?

Wat te bewijzen is (34) (26-1, september 2006)

Wat heb je nou aan algebra als je wilt weten hoe lang een zwaartelijn is? Het antwoord zit verscholen tussen merkwaardige producten.

Wat te bewijzen is (35) (26-2, december 2006)

Spannende eigenschappen van Fibonacci- en soortgelijke rijen passeren de revue.

Wat te bewijzen is (36) (26-3, maart 2007)

In een van de eerste afleveringen van deze rubriek werd de eigenschap x + y + z = h van de gelijkzijdige driehoek besproken. Deze wordt opnieuw onder de loep genomen, maar nu met een puur meetkundig bewijs.

Wat te bewijzen is (37) (26-4, juni 2007)

Op 15 april was het precies 300 jaar geleden dat Leonhard Euler werd geboren. Eén van de vele onderwerpen waar hij zich mee bezighield, is de harmonische rij.

Wat te bewijzen is (38) (27-1, september 2007)

Onder de letter C in het Woordenboek van merkwaardige en interessante meetkunde vinden we als eerste 'Caïrobetegeling'. Met deze interessante en merkwaardige tegels zijn in Caïro straten geplaveid...

Wat te bewijzen is (39) (27-2, december 2007)

De grafische rekenmachine: de ene docent reageert er met afschuw op, de ander loopt ermee weg. Voor wie nog niet overtuigd is: tekenen met formules...

Wat te bewijzen is (40) (27-3, maart 2008)

Van kartonnen doosjes vol wiskunde: optimaliseringsprobleem uit de wiskunde op school.

Wat te bewijzen is (41) (27-4, juni 2008)

XXX

Wat te bewijzen is (42) (28-1, september 2008)

XXX

Wat te bewijzen is (43) (28-2, december 2008)

In de geschiedenis van de wiskunde heeft de cirkel ongetwijfeld de primeur waar het om het begrip raaklijn gaat. Euclides stelde al: Men zegt dat een rechte lijn een cirkel raakt, als die lijn, de cirkel ontmoetende, bij verlenging de cirkel niet snijdt.

Wat te bewijzen is (44) (28-3, maart 2009)

Via een sommetje voor onderweg leiden de parallellogrammen van Varignon en Wittenbauer de lezer naar de zwaartepunten van drie- en vierhoeken.

Wat te bewijzen is (45) (28-4, juni 2009)

In deze editie voeren combinatorische straatjes de lezer over virtuele straatstenen langs Fibonacci en formele machtreeksen naar een generalisatie die dan weer geïllustreerd wordt met het getal 45.

Wat te bewijzen is (46) (29-1, oktober 2009)

Martin Kindt trekt analogieën tussen de discrete en de continue analyse en doet daarmee uitspraken over som- en verschilrijen.

Wat te bewijzen is (47) (29-2, december 2009)

Wat hebben vierkanten, 65 en 67 met elkaar te maken? Op het eerste gezicht niet veel, maar lang voor de invoering van de AOW dachten Diophantos en Fermat hier al over na. Martin Kindt maakt het tot één geheel.

Wat te bewijzen is (48) (29-3, maart 2010)

Beschrijvende meetkunde, Alfred Dürer en kegelsnedes en ellipsen vormen de ingrediënten van opnieuw een boeiende aflevering van Wat te bewijzen is.

Wat te bewijzen is (49) (29-4, juni 2010)

Ook voor in de klas? Het bewijs van de stelling over de zogeheten negenpuntscirkel van een driehoek.

Wat te bewijzen is (50) (30-1, oktober 2010)

Een verrassend(!) bewijs van de stelling dat de som van de hoeken van een boldriehoek groter is dan 180° wordt geleverd door Simon Stevin.

Wat te bewijzen is (51) (30-2, december 2010)

Eulers Latijn is misschien Grieks voor u, maar Martin Kindt leidt de lezer zonder aarzeling langs het bewijs voor de stelling dat in elk veelvlak de som van het aantal ruimtehoeken en het aantal zijvlakken twee meer is dan het aantal ribben.

Wat te bewijzen is (52) (30-3, april 2011)

Van slim gebruik van wiskunde in de Tweede Wereldoorlog tot hoe je dan wél de inhoud van een piramide (of kegel) berekent.

Wat te bewijzen is (53) (30-4, juni 2011)

Rekenkundig en meetkundig gemiddelde leiden, via een meetkundig bewijs dat het harmonisch gemiddelde kleiner is dan het meetkundig gemiddelde, tot het rekenmeetkundig gemiddelde en elliptische integralen.

Wat te bewijzen is (54) (31-1, september 2011)

In deze edite van 'Wat te bewijzen is' leidt Martin Kindt ons van logaritmen voor alfa's naar meetkundige rijen volgens Euclides en de logaritmische methode van Fermat.

Wat te bewijzen is (55) (31-2, december 2011)

In de vijfenvijftigste editie van Wat te bewijzen is neemt Martin Kindt ons mee in een verkenning van Fibonaccigetallen in de formule van Binet en in rechthoekige driehoeken waarvan de lengten van rechtshoekzijden twee opeenvolgende Fibonaccigetallen zijn.

Wat te bewijzen is (56) (31-3, maart 2012)

Van constructies van driehoeken uit drie gegevens (deels al bij Euclides te vinden!), naar de onmogelijkheid om wortel in een eindig aantal stappen met passer en liniaal te construeren. Hetzelfde geldt overigens voor de trisectie van een hoek van 60°.

Wat te bewijzen is (57) (31-4, juni 2012)

Met behulp van middelloodlijnen en bissectrices wordt bewezen dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door hetzelfde punt gaan. Ook wordt de ingeschreven driehoek met de kleinst mogelijke omtrek bepaald.

Wat te bewijzen is (58) (32-1, september 2012)

Wederkerige polynomen zijn sinds 1958 geen deel meer van de examenstof, maar toch is er een aantal situaties waarin de wederkerige vergelijking een rol speelt. Deze aflevering van Wat te bewijzen is besteedt aandacht aan de construeerbaarheid van de regelmatige p-hoek.

Wat te bewijzen is (59) (32-2, december 2012)

In deze editie van Wat te bewijzen is wordt de Stelling van Ptolemaeus aan het vergeetboek ontrukt, waarbij enkele mogelijke bewijzen de revue passeren.

Wat te bewijzen is (60) (32-3, maart 2013)

Beginnend met mooie herinneringen aan de driehoek van Pascal op de middelbare school, voert deze editie van Wat te bewijzen is langs onder andere de harmonische driehoek van Leibniz en het 'harmonisch oneindige' van Oresme, via alternerende rijen tot een verrassende kettingbreuk van Brouncker, waarmee uiteindelijk twee voorstellingen van aan elkaar geknoopt worden.

Wat te bewijzen was (32-4, juni 2013)

Martin Kindt schreef niet minder dan zestig afleveringen van de rubriek Wat te bewijzen is. Dat is vijftien jaar lang elk nummer een stuk! In elk van deze artikelen vinden we een elegante mengeling van wiskunde, didactiek, historie en opinie. In dit afsluitende 'Wat te bewijzen was' kijkt Martin terug op zijn eigen eerste bewijs en op de eerste aflevering van deze indrukwekkende rubriek.