Als vanuit een punt binnen een cirkel 
meer dan twee even lange lijnstukken
(
, 
en 
)
kunnen worden getekend naar de omtrek van de cirkel,
moet dat punt het middelpunt van de cirkel zijn.
Stel dat het punt 
waar meer dan twee even lange lijnstukken elkaar ontmoeten
niet het middelpunt is, dan moet een ander punt 
het middelpunt zijn.
Verbindt deze twee punten met 
,
en verleng ze naar beide kanten tot de omtrek.
Dan, omdat meer dan twee even lange lijnstukken naar de omtrek zijn getekend
vanuit een punt dat niet het middelpunt is,
moeten tenminste twee daarvan aan dezelfde zijde van de diameter 
liggen.
En omdat vanuit een punt 
, dat niet het middelpunt is,
lijnstukken zijn getekend naar de omtrek,
is de langste het lijnstuk dat door het middelpunt gaat.
En dat dichterbij ligt,
is langer dan dat verder weg ligt (prop 8 uit Boek III).
Maar = (hyp), wat absurd is.
Hetzelfde is aan te tonen voor ieder ander punt, anders dan ,
dat het middelpunt van de cirkel moet zijn.
QED