Een cirkel 
kan een andere cirkel 
niet op meer dan twee punten snijden.
Stel dat ze elkaar wel in drie punten snijden.
Teken dan 
, 
en 
vanuit het middelpunt van naar de snijpunten.
Nu geldt: = = (def 15 uit Boek I),
Maar als de cirkels snijden, hebben ze niet hetzelfde middelpunt (prop 5 uit Boek III).
Dus het veronderstelde punt is niet het middelpunt van .
En dus, omdat , en getekend zijn
vanuit een punt dat niet het middelpunt is,
zijn ze niet even lang (prop 7 en prop 8 uit Boek III).
Maar eerder is aangetoond dat ze even lang zijn, wat absurd is.
De cirkels snijden elkaar daarom niet in drie punten.
QED