Vier hoeveelheden , , en worden proportioneel genoemd als ze dezelfde verhouding hebben,
dat wil zeggen als elke veelvoud van de eerste en derde worden genoemen en elke zelfde veelvoud van de tweede en vierde, zoals

Neem dan gelijke veelvouden van de eerste en de derde en (andere) gelijke veelvouden van de tweede en de vierde:

Dat betekent dat als twee keer de eerste groter, gelijk of kleiner is dan twee keer de tweede,
dan is twee keer de derde groter, gelijk of kleiner dan twee keer de vierde.
Of als twee keer de eerste groter, gelijk of kleiner is dan drie keer de tweede,
dan is drie keer de derde groter, gelijk of kleiner dan drie keer de vierde,
en zo verder zoals hierboven uitgedrukt.

Met andere woorden, als drie keer de eerste groter, gelijk of kleiner is dan twee keer de tweede,
dan is drie keer de derde groter, gelijk of kleiner dan twee keer de vierde;
of, als drie keer de eerste groter, gelijk of kleiner is dan drie keer de tweede,
dan is drie keer de derde groter, gelijk of kleiner dan drie keer de vierde.
En zo verder, zoals hierboven uitgedrukt.

Of, als drie keer de eerste groter, gelijk of kleiner is dan vier keer de tweede,
dan is drie keer de derde groter, gelijk of kleiner dan vier keer de vierde, en zo verder.

Ook geldt:

En zo verder met iedere andere gelijke veelvoud van de vier hoeveelheden, genomen op dezelfde manier.

Euclides drukte deze definitie als volgt uit:

De eerste van vier hoeveelheden heeft dezelfde ratio tot de tweede, die de derde heeft tot de vierde,
als een willekeurige gelijke veelvoud van de eerste en de derde worden genomen en
een andere willekeurige gelijke veelvoud van de tweede en de vierde;
•     als de veelvoud van de eerste kleiner is dan die van de tweede, is de veelvoud van de derde ook kleiner dan die van de vierde;
•     of als de veelvoud van de eerste gelijk is aan die van de tweede, is de veelvoud van de derde ook gelijk aan die van de vierde;
•     of als de veelvoud van de eerste groter is dan die van de tweede, is de veelvoud van de derde ook groter dan die van de vierde.

In het vervolg wordt deze definitie in het algemeen als volgt uitgedrukt:

Als M >, = of < m , wanneer M >, = of < m            

Dan leiden we af dat , de eerste, dezelfde ratio heeft tot , de tweede, als , de derde, heeft tot , de vierde.

Dit wordt als volgt uitgedrukt:

	: = :		/		/
		of als		=

En dit wordt gelezen als:

staat tot , zoals staat tot .           

En uit : = : leiden we af dat als M >, = of < m , dan zal M >, = of < m .

Dat betekent:

Als de eerste tot de tweede is als de derde is tot de vierde,
dan is M keer de eerste groter dan, gelijk aan of kleiner dan m keer de tweede,
dan zal M keer de derde groter dan, gelijk aan of kleiner zijn dan m keer de vierde.

Hierin mogen M en m niet gezien worden als specifieke veelvouden. Het is ieder willekeurig stel van veelvouden.
Noch zijn tekens als , , , enzovoort te beschouwen als meer dan representatieven voor geometrische hoeveelheden.

De student zou deze definitie grondig moeten begrijpen alvorens verder te gaan.

• Dijksterhuis: Men zegt, dat grootheden in dezelfde reden zijn, de eerste tot de tweede en de derde tot de vierde, wanneer willekeurige zelfde veelvouden van de eerste en de derde tegelijk grooter zijn dan, gelijk aan of kleiner dan willekeurige zelfde veelvouden van de tweede en de vierde, in overeenkomstige volgorde genomen.
  Laat grootheden, die dezelfde reden hebben, evenredig heeten.
• Hoogendijk: Grootheden worden gezegd in dezelfde verhouding te zijn, een eerste tot een tweede, en een derde tot een vierde, wanneer willekeurige zelfde veelvouden van de eerste en de derde (genomen worden) en willekeurige zelfde veelvouden van de tweede en de vierde, en ieder van deze (veelvouden van de eerste en de derde) ofwel tegelijk groter is dan, ofwel tegelijk gelijk is aan, ofwel tegelijk kleiner is dan ieder van (deze veelvouden van de tweede en de vierde), in overeenkomstige volgorde genomen.
• Van Schooten: De grootheden A en B zijn in dezelfde reden als de grootheden C en D als voor elk paar getallen p en q geldt dat
  • als p × A > q × B, dan p × C > q × D
  • als p × A = q × B, dan p × C = q × D
  • als p × A < q × B, dan p × C < q × D
  De grootheden A en B zijn evenredig met C en D als A = p × B en als C = p × D.
• Heath: Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when, if any equimultiples whatever be taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former equimultiples alike exceed, are alike equal to, or alike fall short of, the latter equimultiples respectively taken in corresponding order.
  Let magnitudes which have the same ratio be called proportional.

vorige / volgende