Als van de gelijke veelvouden van vier hoeveelheden (genomen zoals in de def 5 uit Boek 5),
de veelvoud van de eerste is groter dan de tweede,
maar de veelvoud van de derde is niet grotere dan de veelvoud van de vierde,
dan is de ratio van de eerste tot de tweede groter dan die van de derde tot de vierde.
En, aan de andere kant, de ratio van de derde tot de vierde is kleiner dan die van de eerste tot de tweede.
Nu blijkt dat voor de gelijke veelvouden van vier hoeveelheden, anders dan in def 5 uit Boek 5, het volgende geldt:
> 
, maar
= of < 
Oftewel, als enige specifieke veelvoud M' van de eerste en derde gevonden moet worden
alsmede een specifieke veelvoud m' van de tweede en vierde, zodat M' keer de eerste > m' keer de tweede,
en M' keer de derde is niet > m' keer de vierde, maar = of < m' keer de vierde,
dan is de ratio van van de eerste tot de tweede groter dan die van de derde tot de vierde.
Oftewel, de derde tot de vierde heeft een kleinere ratio dan de eerste tot de tweede.
Dit geldt ongeacht of verschillende andere gelijke veelvouden lijken te tonen dat de vier hoeveelheden proportioneel zijn.
Deze defintie wordt in de toekomst als volgt uitgedrukt:
Als M' 
> m' 
,
maar M' 
= of < m' 
,
dan : > : .
Anders dan de veelvouden M en m geïntroduceerd in def 5 (uit Boek V),
zijn M' en m' in de algemene uitdrukking hierboven te beschouwen als specifieke veelvouden,
In def 5 worden M en m beschouwd als ieder paar veelvouden dat genomen kan worden.
En , , en vergelijkbare symbolen
zijn vooral te beschouwen als representaties van geometrische hoeveelheden.
Op een meer rekenkundige wijze, is dit als volgt toe te lichten:
Neem de vier getallen, 8, 7, 10 en 9.
| Eerste 8 | Tweede 7 | Derde 10 | Vierde 9 |
| 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 enz. |
14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 enz. |
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 enz. |
18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 enz. |
Tussen bovenstaande veelvouden staan 16 > 14 en 20 > 18;
dat betekent dat twee keer de eerste groter is dan twee keer de tweede en
twee keer de derde groter is dan twee keer de vierde.
En 16 < 21 en 20 < 27;
dat betekent dat twee keer de eerste kleiner is dan drie keer de tweede en
twee keer de derde kleiner is dan drie keer de vierde.
En tussen dezelfde veelvouden staan 72 > 56 en 90 > 72;
dat betekent dat negen keer de eerste groter is dan acht keer de tweede en
negen keer de derde groter is dan acht keer de vierde.
Veel andere veelvouden zijn te selecteren die lijken te tonen dat de getallen 8, 7, 10 en 9 proportioneel zijn.
Maar dat zijn ze niet, want er bestaat een veelvoud van de eerste > een veelvoud van de tweede,
terwijl dezelfde veelvoud van de derde als van de eerste niet > dezelfde veelvoud van de vierde als van de tweede.
Bijvoorbeeld 9 keer de eerste is > 10 keer de tweede,
maar 9 keer de derde is niet > 10 keer de vierde.
Oftewel, 72 > 70, maar 90 is niet > 90.
Of 8 keer de eerste vinden we > 9 keer de tweede,
maar 8 keer de derde is niet > dan 9 keer de vierde.
Dat betekent 64 > 63, maar 80 is niet > 81.
Als enkele veelvouden zoals deze te vinden zijn, heeft de eerste (8) een grotere ratio tot de tweede (7)
dan de derde (10) heeft tot de vierde (9).
En aan de andere kant heeft de derde (10) een kleinere ratio tot de vierde (9) heeft dan de eerste (8) tot de tweede (7).
- Dijksterhuis: Wanneer van de zelfde veelvouden het veelvoud van de eerste groter is dan het veelvoud van de tweede, maar het veelvoud van de derde is niet groter dan het veelvoud van de vierde, dan zegt men, dat de eerste tot de tweede een grotere reden heeft dan de derde tot de vierde.
- Heath: When, of the equimultiples, the multiple of the first magnitude exceeds the multiple of the second, but the multiple of the third does not exceed the multiple of the fourth, then the first is said to have a greater ratio to the second than the third has to the fourth.