Versie Oliver Byrne

Als de eerste van vier hoeveelheden dezelfde veelvoud van de tweede is
als de derde is van de vierde en
als een willekeurige veelvoud van de eerste en derde wordt genomen,
dan zullen deze dezelfde veelvoud zijn,
de ene van de tweede en de andere van de vierde.

Laat , de eerste, dezelfde veelvoud van , de tweede, zijn
   als , de derde, is van , de vierde.

Neem		dezelfde veelvoud van
als		is van .

Dan is duidelijk dat		dezelfde veelvoud van is

als		is van .
Want		bevat bevat net zo veel keer.
als		bevat bevat .

Dezelfde redenering is in alle gevallen toe te passen.

Dus als de eerste van vier, enzovoort.

Neem:
a = p ⋅ b,
c = p ⋅ d,
e = q ⋅ a en
f = q ⋅ c.

Nu geldt:
e = q ⋅ a = q ⋅ p ⋅ b en
f = q ⋅ c = q ⋅ p ⋅ d.
Dat zijn gelijke veelvouden van a en b.

Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne

Als dezelfde veelvoud van is als is van ,
en als gelijke veelvouden worden genomen van en ,
dan zijn die gelijke veelvouden ook gelijke veelvouden,
van en van .

Daar dezelfde veelvoud is van als is van ,
moet net zo vaak in passen als in .

Verdeel in delen gelijk aan en
verdeel in delen gelijk aan .
Dan is het aantal keren dat in past gelijk aan
het aantal keren dat in ieder deel van past.

Daar dezelfde veelvoud van is als is van terwijl
ieder deel van = gelijk is aan en
ieder deel van = gelijk is aan ,
moet ieder deel van dezelfde veelvoud van zijn als
ieder deel van is van .

Dus moet de som van de delen van dezelfde veelvoud van zijn als
de som van de delen van is van (def 2 uit Boek V).

Daarom geldt: Als dezelfde veelvoud is enzovoort.

Figuur propositie 3

vorige / volgende