Propositie 4 Stelling

Versie Oliver Byrne

Als de eerste van vier getallen dezelfde verhouding heeft tot de tweede als
de derde heeft tot de vierde,
dan heeft een gelijke willekeurige veelvoud van de eerste en de derde
dezelfde verhouding tot
een andere gelijke willekeurige veelvoud van de tweede en de vierde.
De gelijke veelvoud van de eerste heeft dezelfde verhouding tot
die van de tweede als
de gelijke veelvoud van de derde heeft tot die van de vierde.

 

Laat gerond : zw4kant = roruit : bl5hoek, dan 3 gerond : 2 zw4kant = 3 roruit : 2 bl5hoek.

Iedere gelijke veelvoud van 3 gerond en 3 roruit is
een gelijke veelvoud van gerond en roruit.
En iedere gelijke veelvoud van 2 zw4kant en 2 bl5hoek is
een gelijke veelvoud van zw4kant en bl5hoek (prop 3 uit Boek V).


Dit betekent dat M keer 3 gerond en M keer 3 roruit
gelijke veelvouden zijn van gerond en roruit.

En m keer 2 zw4kant en m keer 2 bl5hoek zijn gelijke veelvouden van zw4kant en bl5hoek.


Nu geldt: gerond : zw4kant = roruit : bl5hoek (hyp).

Dus als M 3 gerond >, = of < m 2 zw4kant,
dan M 3 roruit >, = of < m 2 bl5hoek (def 5 uit Boek V).


En daarom geldt: 3 gerond : 2 zw4kant = 3 roruit : 2 bl5hoek (def 5 uit boek V).


Dezelfde redenatie geldt als
een andere gelijke veelvoud van de eerste en derde wordt genomen en
weer een andere gelijke veelvoud van de tweede en de vierde.


Dus als de eerste van vier hoeveelheden, enzovoort.

Als a : b = c : d
dan p a : q b = p c : q d

Want
als a/b = c/d
dan p/q ⋅ a/b = p/q ⋅ c/d,
dus p ⋅ a/q ⋅ b = p ⋅ c/q ⋅ d

Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne

Als ge punt tot ro punt dezelfde verhouding heeft als zw punt tot bl punt,
dan hebben willekeurige gelijke veelvouden ge lijn en zw lijn van ge punt en zw punt
dezelfde verhouding tot andere willekeurige gelijke veelvouden ro lijn en bl lijn van ro punt en bl punt.


Laat ge punt tot ro punt dezelfde verhouding hebben als zw punt tot bl punt.


Neem nu gelijke veelvouden ge lijn en zw lijn van ge punt en zw punt.
En neem andere gelijke veelvouden ro lijn en bl lijn van ro punt en bl punt.


Neem dan gelijke veelvouden ge dun en zw dun van ge lijn en zw lijn.
En neem andere gelijke veelvouden ro dun en bl dun van ro lijn en bl lijn.


Daar ge lijn dezelfde veelvoud van ge punt is als ro lijn van zw punt en
gelijke veelvouden ge dun en ro dun van ge lijn en zw lijn zijn genomen,
moet ge dun dezelfde veelvoud van ge punt zijn als zw dun van zw punt
(def 3 uit Boek V).

Om dezelfde reden is ro dun dezelfde veelvoud van zw punt als bl dun van bl punt.


En daar ge punt : ro punt = zw punt : bl punt,
en gelijke veelvouden ge dun en zw dun van ge punt en zw punt zijn genomen,
en andere gelijke veelvouden ro dun en bl dun van ro punt en bl punt zijn genomen,
moet gelden: als ge dun >, = of < ro dun,
dan zw dun >, = of < bl dun (def 5 uit Boek V).


En ge dun en zw dun zijn gelijke veelvouden van ge lijn en zw lijn
en ro dun en bl dun zijn andere gelijke veelvouden van ro lijn en bl lijn.
Dus ge lijn : ro lijn = zw lijn : bl lijn (def 5 uit Boek V).


Daarom geldt: Als ge punt tot ro punt dezelfde verhouding enzovoort.

Figuur propositie 4

vorige / volgende