Versie Oliver Byrne
Hoeveelheden die dezelfde ratio hebben tot dezelfde hoeveelheid zijn gelijk aan elkaar;
en die tot welke dezelfde hoeveelheid dezelfde ratio heeft, zijn gelijk aan elkaar.
Laat 
: 
= 
: . Dan geldt: = .
Zo niet, laat dan > , dan geldt: : > : (prop 8 uit Boek V).
Dat is in tegenspraak met de hypothese.
Dus is niet > .
Op dezelfde wijze is aan te tonen dat niet > .
Dus moet = .
Laat nu gelden: : = : . Dan moet ook gelden: = .
Want verwisseling geeft: : = : .
En dan geldt, als in het eerste geval, = .
Dus hoeveelheden die dezelfde reden hebben, enzovoort...
Dit kan ook op een andere wijze worden aangetoond:
Laat A : B = A : C, dan B = C,
want als de fractie A/B = de fractie
A/C én
de teller van de ene is gelijk aan de teller van de andere,
dan zijn de noemers van deze fracties gelijk aan elkaar.
Oftewel, B = C.
Weer, als B : A = C : A, B = C. Dan, als B/A = C/A, moet B = C.
Als a : b = c : b, dan a = c
en als p : q = p : r, dan p = r
Want als a/b = c/b,
dan b ⋅ a/b = b ⋅ c/b en dus a = c.
En als p/q = p/r,
dan ⋅ p q r/q = ⋅ p q r/q en dus p r = p q, oftewel p = q.
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als 
en 
dezelfde ratio tot 
hebben,
dan zijn en gelijk aan elkaar:
dus als : = : , dan = ;
en als dezelfde ratio heeft tot zowel als ,
dan zijn en gelijk:
oftewel als : = : , dan = .
Laat zowel als dezelfde ratio hebben tot .
Als > of < ,
zou niet zowel als dezelfde ratio tot hebben.
Maar dat doen ze wel en daarom moet = (prop 8 uit Boek V).
Laat nu dezelfde ratio tot zowel als hebben.
Als > of < ,
zou niet dezelfde ratio tot zowel als hebben.
Maar dat heeft hij wel, en daarom moet = (prop 8 uit Boek V).
Daarom geldt: Hoeveelheden hebben dezelfde ratio tot enzovoort.