Versie Oliver Byrne

Van ongelijke hoeveelheden heeft de grotere
een grotere ratio tot dezelfde dan de kleinere heeft;
en dezelfde hoeveelheid heeft een grotere ratio tot de kleinere dan tot de grotere.

Laat

> en een willekeurige andere hoeveelheid.

Eerst is te bewijzen dat		, die de grotere van de twee ongelijke hoeveelheden is,
een grotere ratio tot heeft dan , de kleinere, heeft tot .

Oftewel, dat

: > : .

Neem M'		, m' , M' en m' ,
zodanig dat zowel M' als M' > . Neem ook m' , de kleinste veelvoud van waarvoor m' > M' = M' .

Dus M' is niet > m' en M'		is > m' .
Want als m' de eerste veelvoud is die > M' , dan (m' − 1) of (m' − ) is niet > M' . En is niet > M' . Dus, (m' − ) + < M' + M' .

Dat betekent dat m' < M'		. Oftewel, M'		> m' .
Maar hierboven is aangetoond dat M' is niet > m' .

Daarom heeft		een grotere ratio tot dan : (def 7 uit Boek V).
Als volgende is te bewijzen dat een grotere ratio heeft

tot , de kleinere, dan tot

, de grotere.

Kortom, : > :

.

Neem m' , M' , m' en M'

.

Dus m' is < M'

.

En dus heeft een grotere reden tot dan tot

heeft (def 7 uit Boek V).

Dus van ongelijke hoeveelheden, enzovoort.

De veelvouden voor def 5 zijn vernuftig genomen:
een veelvoud van de eerste, groter dan de veelvoud van de tweede,
en dezelfde veelvoud van de derde als van de eerste,
niet groter dan dezelfde veelvoud van de vierde als van de tweede.
Dit kan getalsmatig als volgt geïllustreerd worden.

Het getal 9 heeft een grotere ratio tot 7 dan 8 tot 7 heeft.
Dat betekent dat 9 : 7 > 8 : 7. Oftewel, 8 + 1 : 7 > 8 : 7.

De veelvoud van 1 die voor het eerst groter wordt dan 7, is 8 keer.
Daarom mogen de eerste en derde met 8, 9, 10 of een ander groter getal worden vermenigvuldigd.

In dit geval, worden de eerste en derde met 8 vermenigvuldigd.
Dat geeft 64 + 8 en 64.
De eerste veelvoud van 7 die groter wordt dan 64 is 10 keer.
De tweede vermenigvuldigen met 10 geeft 70 en 70.
Rangschikking van de getallen geeft:

Daardoor is 64 + 8 of 72, groter dan 70,
maar 64 niet groter dan 70.
Dus vanwege def 7 (uit Boek V), heeft 9 een grotere reden tot 7 dan 8 heeft tot 7.

Voorgaande is een illustratie van het bewijs.
De eigenschap is ook op de volgende wijze te tonen voor deze of andere getallen.

Als een voorganger een opvolger een groter aantal keren bevat
dan een andere voorganger zijn opvolger bevat,
dan is de ratio van de eerste voorganger tot zijn opvolger groter dan
de ratio van de laatste voorganger tot zijn opvolger.
Ook zijn breuken te vormen met de voorganger als teller en de opvolger als noemer.
Bij gelijknamige breuken is de breuk met de grotere teller de grootste van de twee.
Dus bij gelijke opvolgers is die ratio groter waarbij
de voorganger groter is dan de andere voorganger.

Dus het getal 9 heeft een groter ratio tot 7 dan 8 heeft tot 7, want _⁹/7 = _⁸/7.

Ook 17 : 19 is groter dan 13 : 15.
Immers, _¹⁷/19 = _{^{17 x 15}/19 x 15} > _²⁵⁵/285 en _¹³/15 = _{^{13 x 19}/15 x 19} = _²⁴⁷/285. Dan is duidelijk dat _²⁵⁵/285 is groter dan _²⁴⁷/285.
Dus _¹⁷/19 is groter dan _¹³/15.
En volgens deze redenering heeft 17 een grotere ratio tot 19 dan 13 heeft tot 15.

Dus de algemene termen waarop een grotere, gelijke of kleinere ratio bestaat zijn als volgt:
Als _^A/B groter is dan _^C/D, dan heeft A een grotere ratio tot B heeft dan C tot D.
Als _^A/B gelijk is aan _^C/D, dan heeft A dezelfde ratio tot B als C tot D.
En als _^A/B kleiner is dan _^C/D, dan heeft A een kleinere ratio tot B dan C tot D.

De student zou alles tot aan deze propositie perfect moeten begrijpen alvorens verder te gaan, om de volgende proposities in dit boek goed te kunnen begrijpen.
Daarom raden we de leerling sterk aan opnieuw te beginnen en tot aan hier langzaam te lezen en zorgvuldig iedere stap te beredeneren terwijl hij doorgaat, in het bijzonder wakend tegen het ondeugdelijke systeem van volledig afhangen van het geheugen.
Door deze instructies te volgen, zal hij merken dat de delen die gewoonlijk aanzienlijke moeilijkheden opleveren geen moelijkheden meer geven in het vervolg van de studie van dit belangrijke boek.

Als a > b
   dan a : c > b : c en c : a < c : b

Want
als a > b
   dan _^a/c = _{^{(a − b) + b}/c} > _^b/c en
   _^c/a = _{^{c ⋅ b}/a ⋅ b} en _^c/b = _{^{c ⋅ a}/b ⋅ a}

en omdat b < a,
   moet c ⋅ b < c ⋅ a
   en dus _{^{c ⋅ b}/a ⋅ b} < _{^{c ⋅ a}/b ⋅ a},
   wat betekent dat _^c/a < _^c/b

Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne

Van ongelijke hoeveelheden, heeft de grotere tot dezelfde een grotere ratio dan de kleinere
( : > : );
en dezelfde heeft tot de kleinere een grotere ratio dan tot de grotere
( : < : ).

Neem > en een willekeurige andere hoeveelheid.

Maak = .
Stel < .

Dan wordt , na vermenigvuldiging,
uiteindelijk groter dan (def 4 uit Boek V).

Laat een veelvoud van zijn die groter is dan .

Maak dezelfde veelvoud van en dezelfde veelvoud van
als van .

Neem opeenvolgende veelvouden, steeds één groter, van .

Laat de laatste veelvoud zijn niet die niet groter dan is en
de eerste veelvoud van die groter is dan (def 4 uit Boek V).
Dus als = n ⋅ , dan = (n − 1) ⋅ .

Daar dezelfde veelvoud van is als is van ,
moet dezelfde veelvoud van zijn als van
(prop 1 uit Boek V).

Maar is dezelfde veelvoud van als is van ,
en dus is dezelfde veelvoud van als van .
Dus en zijn gelijke veelvouden van en .

Weer, daar dezelfde veelvoud van is als van ,
en = , moet = .

Maar is niet < , dus ook is niet < .

En > , dus het geheel > + .

Verder geldt: + = ,
want = (n − 1) ⋅ en + = n ⋅ ,
terwijl = n ⋅ .

Maar > + ,
dus > , terwijl niet > .

En en zijn gelijke veelvouden van en ,
terwijl een andere, willekeurige veelvoud van is,
dus moet een grotere ratio tot hebben dan tot
(def 7 uit Boek V).

Figuur propositie 8a

Ik zeg verder dat tot een grotere ratio heeft dan tot .

Met dezelfde constructie kunnen we op gelijke wijze bewijzen dat > , terwijl niet > .

En is een veelvoud van ,
terwijl en andere gelijke veelvouden van en zijn,
dus heeft tot een grotere ratio dan tot heeft
(def 7 uit Boek V).

Laat nu > .

Dan zal de kleinere , na vermenigvuldiging uiteindelijke groter zijn dan (def 4 uit Boek V).

Laat een veelvoud van zijn groter dan .

Maak dezelfde veelvoud van en dezelfde veelvoud van
als is van .

Dan kunnen op dezelfde wijze bewijzen dat en
gelijke veelvouden zijn van en ,
en neem op dezelfde wijze de eerste veelvoud van
die groter is dan ,
zodat weer niet minder is dan (def 4 uit Boek V).

Maar > , dus het geheel > + = .

Nu niet groter is dan ,
netzomin als , die groter is dan , dat is dan is niet groter dan .

En op dezelfde wijze, volgens bovenstaande redenering, maken we de demonstratie af.

Daarom geldt: Van ongelijke hoeveelheden, heeft de grotere enzovoort.

Figuur propositie 8b

vorige / volgende