Versie Oliver Byrne
Die hoeveelheid die een grotere reden heeft dan een andere heeft tot dezelfde hoeveelheid, is de grotere van de twee: en die hoeveelheid waartoe dezelfde een grotere reden heeft dan deze heeft tot een andere hoeveelheid, is de kleinere van de twee.
Laat 
: 
> 
: , dan > .
Zo niet, laat dan = of < .
Dan : = : (prop 7 uit Boek V) of
: < : (prop 8 uit Boek V) en
omgekeerd, wat absurd is gezien de hypothese.
Dus is niet = of < . En daarom moet > .
Laat nu : > : , dan < .
Zo niet, dan moet > of = .
En dan : < : (prop 8 uit Boek V) en omgekeerd,
of : = : (prop 7 uit Boek V),
wat absurd is (hypothese).
Dus is niet > of =
en dus moet < .
Dus hoeveelheden die een grotere reden hebben, enzovoort...
Als a : c > b : c
dan a > b en
als p : q > p : r
dan q < r
Want
als a : c = > b : c
dan a/c = (a − b) + b/c > b/c en
dus (a − b) + b > b, oftewel a − b > 0 en daarom a > b
en als p : q > p : r
dan p/q > p/r
dus p q r/q > p q r/r
en dat betekent pr > pq
daarom r > q
oftewel q < r
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Van hoeveelheden die een ratio tot hetzelfde hebben,
is degene die een grotere ratio heeft groter;
en die waartoe dezelfde een grotere ratio heeft, is kleiner.
Oftewel, als 
: 
> 
: , dan >
en als : > : , dan < .
Laat : > : .
Als niet > , dan is = of < .
Als = ,
dan zouden en dezelfde ratio tot hebben (prop 7 uit Boek V).
En als < ,
dan zou een kleinere ratio tot hebben dan tot heeft
(prop 8 uit Boek V).
Dus moet > .
Laat nu : > : .
Als niet < , dan is = of > .
≠ ,
want anders zou dezelfde ratio tot zowel als hebben
(prop 7 uit Boek V).
Ook is niet > ,
want dan zou tot een kleinere ratio hebben dan hij tot heeft
(prop 8 uit Boek V).
Dus moet < .
Daarom geldt: Van hoeveelheden die een ratio tot hetzelfde enzovoort.