Als twee driehoeken (
en 
) één hoek in elk gelijk hebben (
en 
),
de zijden om de andere hoeken proportioneel zijn
(
: 
= 
: 
) en
dan zijn de resterende hoeken (
en 
), allebei scherp of allebei stomp en
zijn de driehoeken gelijkvormig.
Veronderstel eerst dat de hoeken en allebei scherp zijn.
Veronderstel verder dat 
en 
binnen de proportionele zijden, niet gelijk zijn.
Laat groter zijn en maak 
= .
Omdat = (hyp) en = (constr),
moet 
= (prop 32 uit Boek I).
Dus : 
= : (prop 4 uit Boek VI).
Ook geldt: : = : (hyp).
Dus : = : .
En dus = (prop 9 uit Boek V).
Dit betekent dat = 
(prop 5 uit Boek I).
Omdat scherp is (hyp), moet ook scherp zijn.
En dus moet stomp zijn (prop 13 uit Boek I).
Maar bewezen is = en daarom scherp, wat absurd is.
Dus en zijn niet ongelijk.
Oftewel, ze zijn gelijk.
Daar = (hyp), moet = (prop 32 uit Boek I).
Kortom, de driehoeken zijn gelijkvormig.
Ook als en verondersteld worden allebei scherp te zijn,
is zoals hiervoor te bewijzen dat de driehoeken gelijkvormig zijn.
De zijden om de gelijke hoeken zijn proportioneel (prop 4 uit Boek VI).
QED