Als vanuit een punt in een cirkel 
, dat niet het middelpunt is,
lijnstukken 
, 
en 
worden getekend naar de omtrek,
dan is de langste van die lijnstukken () degene die door het middelpunt gaat en
de kortste is het overblijvende deel (
) van de diameter.
Van de andere lijnstukken, is die () dichter bij het lijnstuk door het middelpunt
langer dan die () verder weg ligt.
Figuur II
De twee lijnstukken (
en )
die gelijke hoeken maken met het lijnstuk door het middelpunt,
en aan weerszijden ervan liggen, zijn even lang;
en vanuit hetzelfde punt op de omtrek kan geen derde lijnstuk getekend worden
dat even lang is.
Figuur I
Teken 
en 
naar het middelpunt.
Dan geldt: 
= (def 15 uit Boek I).
Daarom geldt: 
= 
+ > (prop 20 uit Boek I).
Op dezelfde wijze is aan te tonen dat langer is dan en
dan iedere andere lijn getekend vanuit het zelfde punt naar een punt op de omtrek.
Nu geldt, vanwege prop 20 uit Boek I:
+ > =
+ .
Neem van beide.
Dan > (ax 4 uit Boek I).
En op dezelfde manier is aan te tonen dat korter is dan
iedere andere lijn getekend vanuit hetzelfde punt naar een punt op de omtrek.
Dan geldt in 
en 
:
gemeenschappelijk, 
> 
en = .
Dus > (prop 24 uit Boek I).
Op dezelfde wijze is te bewijzen dat langer is dan iedere ander lijn getekend vanuit hetzelfde punt naar een punt op de omtrek verder van .
Figuur II
Als 
= 
, dan = .
Zo niet, neem dan = en teken 
.
Dan geldt in 
en 
:
gemeenschappelijk, = en = .
Dus = (prop 4 uit Boek I).
Dan moet = 
= ,
een deel gelijk aan het geheel, wat absurd is.
Daarom moet = .
Geen andere lijn getekend vanuit hetzelfde punt op de omtrek is gelijk aan ,
want als hij dichterbij de lijn door het middelpunt ligt, zou hij langer zijn en
als hij verder weg ligt, zou hij korter zijn.
QED