Een cirkel kan een andere cirkel niet in meer dan één punt raken,
niet intern en niet extern.
Figuur I
Stel dat 
en 
elkaar in twee punten intern raken.
Teken dan 
die de middelpunten verbindt en
verleng dit totdat het door één van de raakpunten gaat (prop 11 uit Boek III).
Teken ook 
en 
.
Nu geldt: 
= (def 15 uit Boek I).
En als aan beide wordt toegevoegd, geeft dat:
= + .
Ook geldt: = (def 15 uit Boek I).
En dus + = .
maar + > (prop 20 uit Boek I), wat absurd is.
Figuur II
En als de raakpunten de uiteinden zijn van het lijnstuk dat de middelpunten verbindt,
moet het lijnstuk in twee verschillende punten doormidden gesneden worden
voor de middelpunten, omdat het de diameter van beide crikels is,
wat absurd is.
Figuur III
Stel nu dat en elkaar extern in twee punten extern raken.
Teken dan 
die de middelpunten verbindt en
door één van de raakpunten gaat.
En teken en .
Nu geldt: = (def 15 uit Boek I)
en 
= (def 15 uit Boek I).
Dus + = .
Maar + > (prop 20 uit Boek I), wat absurd is.
Daarom bestaat geen geval waarin twee cirkels elkaar in twee punten kunnen raken.
QED