In een cirkel liggen koorden die even lang zijn ( en )
op dezelfde afstand van het middelpunt en
koorden die even ver van het middelpunt liggen, zijn even lang.

Teken vanuit het middelpunt van
⊥ en ⊥ .

Verbind en .

Dan = _¹/2 ⋅ (prop 3 uit Boek III)

en = _¹/2 ⋅ (prop 3 uit Boek III).

Daar = (hyp),

moet = .

Verder geldt: = (def 15 uit boek I).

Dus ² = ².

Omdat een rechte hoek is, geldt:

² = ² + ² (prop 47 uit Boek I) en

² = ² + ² om dezelfde reden.

Dus ² + ² = ² + ².

Daarom ² = ².

Oftewel, = .

Als de koorden en op gelijke afstand van het middelpunt liggen,

dat wil zeggen, als de loodlijnen en even lang zijn,

dan = .

Want, zoals in voorgaand geval,

² + ² = ² + ² en

² = ².

Dus ² = ².

En de dubbelen hiervan, en , moeten dan ook even lang zijn.

QED

vorige / volgende

Figuur propositie 14