Op dezelfde rechte lijn en aan dezelfde zijde ervan,
kunnen niet twee dezelfde segmenten van cirkels geconstrueerd worden
die niet samenvallen.
Stel dat wel twee dezelfde segmenten 
en 
geconstrueerd zijn.
Teken dan een willekeurige rechte lijn 
die beide segmenten snijdt.
Teken ook 
en 
.
Omdat de segmenten hetzelfde zijn, geldt:
= 
(def 3 uit Boek III).
Echter, > (prop 16 uit Boek I), wat absurd is.
Daarom valt geen enkel punt in één van de segmenten buiten de andere,
en dus vallen de segmenten samen.
QED