Versie Oliver Byrne

Als een hoeveelheid dezelfde veelvoud van een ander is,
die een deel genomen van de eerste is van een deel genomen van de andere,
dan zal de rest dezelfde veelvoud van de rest zijn die het geheel is van het geheel.

Laat			=	M'
en			=	M'	.
Dan		−	=	M'		− M' .
Dus			=	M' (		− ).
En dus			=	M'	.

Dus als een hoeveelheid, enzovoort.

Als a + b = m (c + d) en
   b = M' d
dan a = M' c

Want
als a + b = M' (c + d) en
   b = M' d
dan a + b - b = m (c + d) - M' d
dus a = M' c + M' d - M' d
dus a = M' c

Oftewel, M' c + M' d = M' (c + d).

Anders gesteld, met c + d = e:
M' e − M' d = M' (e − d)

Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne

Als dezelfde veelvoud is van als van ,
dan is het verschil dezelfde veelvoud van het verschil
als is van .

Maak zo dat dezelfde veelvoud van is
als is van .

En maak gelijk aan .

Daar dezelfde veelvoud van is als van en als van ,
moet ook dezelfde veelvoud van zijn (prop 1 uit Boek V).

Dus = + .

En is gelijk gemaakt aan .

Trek = af van zowel als van + .

Dan is het verschil gelijk aan het verschil .

En daar dezelfde veelvoud van is als is van en
als = ,
moet dezelfde veelvoud van zijn als is van .

Verder geldt: is dezelfde veelvoud van als is van (hyp).

Dat betekent dat het verschil dezelfde veelvoud van het verschil is
als het geheel is van het geheel .

Daarom geldt: Als dezelfde veelvoud is van enzovoort.

Figuur propositie 5

vorige / volgende