Versie Oliver Byrne
Als twee hoeveelheden gelijke veelvouden van twee andere zijn en
als gelijke veelvouden hiervan worden genomen van de eerste twee,
dan zijn de resten ofwel gelijk aan die andere of gelijke veelvouden ervan.
|
 |
|
|
|
|
Verder geldt: 
− m'
= M' = m'
= (M' - m') .
Oftewel, (M' - m') 
en (M' - m') zijn gelijke veelvouden van en .
En als M' - m' = 1 geldt: = .
Dus als twee hoeveelheden gelijke veelvouden, enzovoort.
Als a = p b en c = p d
dan zijn a − q b en c − q d veelvouden van of gelijk aan b en d
Want
als a = p b en c = p d
dan a − q b = p b − q b = (p − q) b en
c − q d = p d − q d = (p − q) d
dus a − q b en c − q d zijn veelvouden van b en d
en als p − q = 1 zijn ze gelijk aan b en d.
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als 
en 
gelijke veelvouden van 
en 
zijn,
en 
en 
, die daarvan worden afgetrokken,
ook gelijke veelvouden van en zijn,
dan zijn de restanten (
en 
)
ofwel gelijk aan en ofwel gelijke veelvouden daarvan.
Trek van en ,
zijnde dezelfde veelvouden M' van van ,
en ,
zijnde kleinere gelijke veelvouden m van en , af.
Dat geeft M' − m =
(M' − m) en
ook M' − m =
(M' − m) .
Want omgekeerd moet gelden (M' − m) + m =
M' en
(M' − m) + m =
M' (prop 2 uit Boek V).
Dus blijft van de veelvoud (M' − m) van over en
blijft van de veelvoud (M' − m) van over.
De delen die resteren en moeten dus gelijk zijn aan
de veelvouden (M' − m) van en .
En als M' − m = 1, dan geldt =
alsmede = .
Daarom geldt: Als en gelijke veelvouden enzovoort.