Versie Oliver Byrne
Gelijke hoeveelheden hebben dezelfde ratio tot dezelfde hoeveelheid,
en dezelfde heeft dezelfde ratio tot gelijke hoeveelheden.
Laat 
= 
en 
een andere hoeveelheid.
Aan te tonen is dat : = : en
dat : = : .
Omdat = ,
moet M = M .
Dus als M >, = of < m ,
dan M >, = of < m .
En dus geldt: : = : (def 5 uit Boek V).
Volgens dezelfde redenering geldt:
als m >, = of < M ,
dan m >, = of < M .
Dus geldt: : = : (def 5 uit Boek V).
Gelijke hoeveelheden, enzovoort.
Als a = b
dan a : c = b : c en c : a = c : b
Want als a = b
dan a/c = b/c en
dan c/a = c/b
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Gelijke hoeveelheden (
= 
) hebben dezelfde ratio tot hetzelfde (
);
en hetzelfde () heeft tot gelijke hoeveelheden ( = ) dezelfde ratio.
Oftewel, dan geldt:
: = : en
: = : .
Neem gelijke veelvouden 
en 
van en
en neem een willekeurige veelvoud 
van .
Omdat dezelfde veelvoud van is als van en
= ,
moet = .
Verder is een andere willekeurige hoeveelheid.
Dus als >, = of < , dan is >, = of < .
Omdat en gelijke veelvouden van en zijn,
terwijl een andere willekeurige veelvoud van is,
moet : = : (def 5 uit Boek V).
Met dezelfde constructie is op dezelfde wijze te bewijzen dat
als = en een andere hoeveelheid is,
dan >, = of < , dan >, = of < .
Daar een veelvoud is van ,
terwijl en willekeurige gelijke veelvouden van en zijn,
moet : = : (def 5 uit Boek V).
Daarom geldt: Gelijke hoeveelheden ( = ) hebben enzovoort.