Elementen - Euclides

Propositie D Stelling

Als de eerste is tot de tweede is als de derde tot de vierde en
de eerste een veelvoud of een deel van de tweede is,
dan is de derde dezelfde veelvoud of hetzelfde deel van de vierde.

Laat

: =

: .

En laat

dezelfde veelvoud van zijn als

van .

Eerste	Tweede	Derde	Vierde

Neem

Welke veelvoud

ook van is, maak

dezelfde veelvoud van .

Omdat

: =

en van de tweede en vierde gelijke veelvouden

genomen zijn,

moet

Ook geldt:

(constr).

Dus

(prop A uit Boek V).

Dan is

dezelfde veelvoud van als

is van .

Laat nu :

= :

Laat verder een deel van

zijn.

Dan moet hetzelfde deel zijn van

Verwisseling geeft:

: =

: (prop B uit Boek V).

Omdat een deel is van

, is

een veelvoud van .

Dus gezien voorgaande casus geldt:

is dezelfde veelvoud van .

Oftewel, is hetzelfde deel van

als is van

Dus als de eerste is tot de tweede, enzovoort.

vorige / volgende

Als a : b = c : d en a = n b
dan c = n d

Want
als a : b = c : d en a = n b
   dan _{^{n b}/_b} = _{^c/_d},
   dus n = _{^c/_d}
   oftewel c = n d