Propositie 11 Stelling

Versie Oliver Byrne

Ratio's die hetzelfde zijn aan dezelfde ratio, zijn gelijk aan elkaar.

 


Laat blruit : bl4kant = rorond : ge5hoek en rorond : ge5hoek = zw3hoek : zwrond,
dan zal blruit : bl4kant = zw3hoek : zwrond .


Want als M blruit >, = of < m bl4kant, dan M rorond >, = of < m ge5hoek.

En als M rorond >, = of < m ge5hoek, dan M zw3hoek >, = of < m zwrond (def 5 uit Boek V).


Dus als M blruit >, = of < m bl4kant, dan M zw3hoek >, = of < zwrond.

En dus blruit : bl4kant = zw3hoek : zwrond (def 5 uit Boek V).


Dus ratio's die hetzelfde zijn, enzovoort...

Als a : b = c : d en c : d = e : f
   dan a : b = e : f

Want
als a/b = c/d en c/d = e/f
   dan a/b = c/d = e/f
   dus a/b = e/f

Naar de versie van David E. Joyce la Byrne

Ratio's die gelijk zijn aan dezelfde ratio zijn gelijk aan elkaar.


Laat ro lijn : ro dun xxx = gel lijn : ge dun
en gel lijn : ge dun = bl lijn xxx : bl dun.


Neem gelijke veelvouden ro stlijn, ge stlijn en bl stlijn
van ro lijn, gel lijn en bl lijn
en neem andere gelijke veelvouden ro ptlijn, ge ptlijn en bl ptlijn
van ro dun xxx, ge dun en bl dun.


Omdat ro lijn : ro dun xxx = gel lijn : ge dun en
van ro lijn en gel lijn gelijke veelvouden ro stlijn en ge stlijn genomen zijn
en van ro dun xxx en ge dun andere gelijke veelvouden ro ptlijn en ge ptlijn,
geldt: als ro stlijn >, = of < ro ptlijn, dan ge stlijn >, = of < ge ptlijn.


En daar gel lijn : ge dun = bl lijn xxx : bl dun en
van gel lijn en bl lijn xxx gelijke veelvouden ge stlijn en bl stlijn zijn genomen
en van ge dun en bl dun andere gelijke veelvouden ge ptlijn en bl ptlijn,
geldt: als ge stlijn >, = of < ge ptlijn, dan bl stlijn >, = of < bl ptlijn.


Daar ge stlijn >, = of < ge ptlijn, moet ro stlijn >, = of < ro ptlijn,
en daar ro stlijn >, = of < ro ptlijn, moet bl stlijn >, = of < bl ptlijn (def 5 uit Boek V).


Nu zijn ro stlijn en bl stlijn gelijke veelvouden van ro lijn en bl lijn xxx,
en zijn ro ptlijn en bl ptlijn andere gelijke veelvouden van ro dun xxx en bl dun .

Daarom geldt: ro lijn : ro dun xxx = bl lijn xxx : bl dun (def 5 uit Boek V).


Daarom geldt: Ratio's die gelijk zijn aan enzovoort.

Figuur propositie 11

vorige / volgende