Versie Oliver Byrne
Ratio's die hetzelfde zijn aan dezelfde ratio, zijn gelijk aan elkaar.
Laat 
: 
= 
: 
en : = 
: 
,
dan zal : = : .
Want als M >, = of < m ,
dan M >, = of < m .
En als M >, = of < m ,
dan M >, = of < m (def 5 uit Boek V).
Dus als M >, = of < m ,
dan M >, = of < .
En dus : = : (def 5 uit Boek V).
Dus ratio's die hetzelfde zijn, enzovoort...
Als a : b = c : d en c : d = e : f
dan a : b = e : f
Want
als a/b = c/d en c/d = e/f
dan a/b = c/d = e/f
dus a/b = e/f
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Ratio's die gelijk zijn aan dezelfde ratio zijn gelijk aan elkaar.
Laat 
: 
=
: 
en : =
: 
.
Neem gelijke veelvouden 
, 
en 
van , en
en neem andere gelijke veelvouden 
, 
en 
van , en .
Omdat : = : en
van en gelijke veelvouden en genomen zijn
en van en andere gelijke veelvouden en ,
geldt: als >, = of < , dan >, = of < .
En daar : = : en
van en gelijke veelvouden en zijn genomen
en van en andere gelijke veelvouden en ,
geldt: als >, = of < , dan >, = of < .
Daar >, = of < , moet >, = of < ,
en daar >, = of < , moet >, = of < (def 5 uit Boek V).
Nu zijn en gelijke veelvouden van en ,
en zijn en andere gelijke veelvouden van en .
Daarom geldt: : = : (def 5 uit Boek V).
Daarom geldt: Ratio's die gelijk zijn aan enzovoort.