Versie Oliver Byrne
Als een aantal hoeveelheden proportioneel is,
zoals één van de voorgangers is tot zijn opvolger,
zo zullen alle voorgangers samen genomen zijn tot alle opvolgers.
Laat 
: 
= 
: 
= 
: 
= 
: 
= 
: 
.
Dan zal : = + + + + : + + + + .
Want als M > m ,
dan M > m , en M > m , en M > m en ook M > m
(def 5 uit Boek V).
Daarom, als M > m ,
dan M + M + M + M + M
= M ( + + + + ) >
m + m + + m + m
= m ( + + + + ).
Daarom als één van de voorgangers is tot zijn opvolger,
zo zijn alle voorgangers samengenomen tot alle opvolgers samengenomen
(def 5 uit Boek V).
Op dezelfde wijze is aan te tonen dat als M keer één van de voorgangers
gelijk is aan of minder is dan m keer de opvolgers,
M keer alle voorgangers samengenomen zal gelijk zijn aan of minder zijn dan
alle opvolgers samengenomen.
Dus als een aantal hoeveelheden, enzovoort...
Als a : b = c : d = e : f = g : h = i : j
a : b = a + c + e + g : i = b + d + f + h + j
Anders gesteld: Als a/b = c/d = e/f = g/h = i/j
dan a/b = a + c + e + g + i/b + d + f + h + j
Want
als a/b = c/d
dan c = p ⋅ a en d = p ⋅ b
dus a + c/b + d = a + a ⋅ p/b + b ⋅ p =
(1 + p) ⋅ a/(1 + p) ⋅ b = a/b
Daar ook geldt e = q ⋅ a en f = q ⋅ b, g = r ⋅ a enzovoort,
is op dezelfde wijze aan te tonen dat a + c + e + g + i/b + d + f + h + j = a/b
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als een aantal hoeveelheden proportioneel is
(
: 
= 
: 
= 
: 
),
dan is tot als
de som van de voorgangers ( + + ) tot
de som van de opvolgers ( + + ).
Laat : = : = : .
Neem gelijke veelvouden 
, 
en 
van , en .
En neem andere gelijke veelvouden 
, 
en 
van , en .
Omdat : = : en = : ,
van , en
gelijke veelvouden , en zijn genomen
en van , en
andere gelijke veelvouden , en ,
geldt: als >, = of < ,
dan >, = of < alsmede >, = of < .
Zodat als >, = of < ,
dan is de som van , en
>, = of < de som van , en (def 5 uit Boek V).
Nu zijn en de som van , en
gelijke veelvouden van en de som van , en ,
omdat als een aantal hoeveelheden dezelfde veelvoud van
een gelijk aantal andere hoeveelheden is,
dan is de som van de veelvouden dezelfde veelvoud van de som van de hoeveelheden
(prop 1 uit Boek V).
Om dezelfde reden zijn en de som van , en
ook gelijke veelvouden van en de som van , en .
Daarom is
:
= ( + + )
: ( + + ).
Daarom geldt: Als een aantal hoeveelheden proportioneel is enzovoort.