Als vier hoeveelheden proportioneel zijn, zijn ze ook proportioneel als je ze verwisseld.
Oftewel, als 
: 
= 
: 
,
dan geldt bij verwisseling: : = : .
Als M < m , dan M < m (def 5 uit Boek V).
Verder geldt: als M < m , dan m > M .
Evenzo als M < m , dan m > M .
Dus als m > M , dan m > M .
Op dezelfde manier is aan te tonen dat
als m = of > M ,
dan m = of > M .
En dus geldt: : = : (def 5 uit Boek V).
Dus als vier hoeveelheden, enzovoort.
Als a : b = c : d
dan b : a = d : c
Anders beredeneerd:
Als a/b = c/d, dan M m a/b = M m a/b.
Als nu M = b/a en m = d/c,
dan b/a ⋅ d/c ⋅
a/b = b/a ⋅
d/c ⋅ c/d.
Kortom, d/c = b/a.
zie ook def 13 uit Boek V