Laat

, de eerste, dezelfde veelvoud van , de tweede zijn

als

, de derde, is van , de vierde.

Dan geldt:

: =

: .

Neem M

, m , M

en m .

Omdat

dezelfde veelvoud van is

als

is van (hyp),

en M

dezelfde veelvoud van

is

als M

is van

, 

moet M

dezelfde veelvoud van zijn

als M

is van (prop 3 uit Boek V).

Nu geldt: als M

een grotere veelvoud van is dan m is,

dan is M

een grotere veelvoud van dan m is.

Dat wil zeggen, als M

groter is dan m ,

dan is M

groter dan m .

Op dezelfde manier is aan te tonen dat als M

gelijk is aan m ,

dan is M

gelijk aan m .

En, in het algemeen, als M

dan M

>, = of < m .

Nu geldt:

: =

: (def 5 uit Boek V).

Laat nu hetzelfde deel van

zijn als is van

Dan is

dezelfde veelvoud van als

is van .

Daarom, vanwege het vorige geval,

: =

:

en dus :

= :

(prop B uit Boek V).