In iedere driehoek, is het vierkant op de zijde tegenover een scherpe hoek
kleiner dan de som van de vierkanten op de zijden die deze hoek vormen;
het verschil is twee keer de rechthoek omvat door één van deze twee zijden en
het lijnstuk tussen het voetpunt van de loodlijn uit de tegenoverliggende hoek en
deze scherpe hoek.

Eerste

² < ² + ² met 2 ⋅ ⋅ als verschil.

Tweede

² < ² + met 2 ⋅ ⋅ als verschil.

Ten eerste, veronderstel dat de loodlijn binnen de driehoek valt,
dan (prop 7 uit Boek II) geldt: ² + ² = 2 ⋅ ⋅ + ².

Voeg ² toe aan beide.

Dan ² + ² + ² = 2 ⋅ ⋅ + ² + ² (prop 47 uit Boek I).

Dus ² + ² = 2 ⋅ ⋅ + ².

En dus ² < ² + ²,
met een verschil van 2 ⋅ ⋅ .

Ten tweede, veronderstel dat de loodlijn buiten de driehoek valt,
dan (prop 7 uit Boek II) geldt: ² + ² = 2 ⋅ ⋅ + ².

Voeg ² toe aan beide.

Dan ² + ² + ² = 2 ⋅ ⋅ + ² + ² (prop 47 uit Boek I).

Dus ² + ² = 2 ⋅ ⋅ + ².

En dus ² < ² + ²,
met een verschil van 2 ⋅ ⋅ .

QED

vorige / volgende

Figuur propositie 13