De hoek bij het middelpunt van de cirkel, is twee keer
de hoek op de omtrek, als ze hetzelfde deel van de omtrek als basis hebben.

Middelpuntshoek is twee keer omtrekshoek

Figuur I

Laat het middelpunt van de cirkel op liggen, een been van .

Omdat = , moet = (prop 5 uit Boek I).

Ook geldt: = + .

Oftewel, = 2 ⋅ (prop 32 uit Boek I).

Figuur propositie 20, figuur I

Figuur II

Laat het middelpunt van de cirkel binnen liggen, de hoek op de omtrek.

Teken van het hoekpunt naar het middelpunt van de cirkel.

Dan = en = ,

omdat de benen even lang zijn (prop 5 uit Boek I).

Oftewel, + + + = 2 ⋅ .

Ook geldt: = + en

= + .

Dus = 2 ⋅ .

Figuur propositie 20, figuur II

Figuur III

Laat het middelpunt van de cirkel buiten liggen.

Teken , de diameter.

Omdat = 2 ⋅ en

= 2 ⋅ (geval I).

Dus = 2 ⋅ .

QED

vorige / volgende

Figuur propositie 20, figuur III