Als van een gegeven punt buiten de cirkel twee lijnstukken zijn getekend,
waarvan de ene de cirkel snijdt en
de andere de cirkel raakt,
en als de rechthoek omvat door de hele snijlijn en zijn externe segment
gelijk is aan het vierkant op de andere lijn,
is de laatste een raaklijn aan de cirkel.

Teken vanuit het gegeven punt , een raaklijn aan de cirkel.

Teken ook vanuit het middelpunt , , en .

Nu geldt: ² = ⋅ (prop 36 uit Boek III).

Ook geldt: ² = ⋅ (hyp).

Dus ² = ².

Oftewel, = .

Dan geldt in en :

en = en

en is gemeenschappelijk.

Dus = (prop 8 uit Boek I).

Verder geldt: = een rechte hoek (prop 18 uit Boek III).

Dus = een rechte hoek.

En daarom is een raaklijn aan de cirkel (prop 16 uit Boek III).

QED

vorige

Figuur propositie 37