Versie Oliver Byrne
Als de eerste tot de tweede dezelfde reden heeft die de derde heeft tot de vierde, maar de derde tot de vierde een grotere reden dan de vijfde tot de zesde; zal de eerste ook een grotere reden tot de tweede hebben dan de vijfde tot de zesde.
Laat 
: 
= 
: 
, maar : > 
: 
.
Dan zal : > : .
Omdat : > : ,
bestaan sommige veelvouden (M' en m') van en en van en ,
zodanig dat M' > m' , maar niet M' > m' (def 7 uit Boek V).
Laat deze veelvouden genomen zijn en neem dezelfde veelvouden van en .
Dan als M' >, = of < m' ,
moet M' >, = of < m' (def 5 uit Boek V).
Daar geldt: M' > m' (constr),
moet M' > m' .
Maar M' is niet > m' (constr) en
daarom moet : > : (def 7 uit Boek V).
Dus als de eerste tot de tweede, enzovoort...
Als a/b = c/d en c/d > e/f
dan a/b > e/f
Want
als a/b = c/d
dan c = p ⋅ a en d = p ⋅ b
dus a + c/b + d = a + a ⋅ p/b + b ⋅ p =
(1 + p) ⋅ a/(1 + p) ⋅ b = a/b
Daar ook geldt:
e = q ⋅ a en f = q ⋅ b, g = r ⋅ a en h = r ⋅ b enzovoort,
is dezelfde wijze aan te tonen dat a + c + e + g + i/b + d + f + h + j = a/b
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als 
tot 
dezelfde ratio heeft als 
tot 
,
en tot een grotere ratio heeft dan 
tot 
,
dan heeft tot een grotere ratio dan tot .
Neem gelijke veelvouden 
en 
van
en en
andere gelijke veelvouden 
en 
van
en ,
zodanig dat de veelvoud van >
de veelvoud van ,
terwijl de veelvoud van niet groter is
dan de veelvoud van .
Wat de veelvoud van ook is,
laat 
dezelfde veelvoud van zijn en
wat de veelvoud van ook is,
laat 
dezelfde veelvoud van zijn (def 7 uit Boek V).
Daar : = : ,
van en gelijke veelvouden en genomen zijn en
van en andere gelijke veelvouden en genomen zijn,
moet als >, = of < , ook >, = of < (def 5 uit Boek V).
Nu geldt: > en dus > .
En is niet > en
en zijn gelijke veelvouden van en en
en zijn andere gelijke veelvouden van en .
Dus moet : > : (def 7 uit Boek V).
Daarom geldt: Als tot dezelfde ratio heeft als enzovoort.