Versie Oliver Byrne
Als de eerste dezelfde ratio heeft tot de tweede die de derde heeft tot de vierde,
dan, als de eerste groter is dan de derde, zal de tweede groter zijn dan de vierde,
als gelijk gelijk, en als minder minder.
Laat 
: 
= 
: 
.
Veronderstel eerst > . Dan > .
Want : > : (prop 8 uit Boek V).
Verder geldt: : = : (hyp).
Dus : > : (prop 13 uit Boek V).
En dus < (prop 10 uit Boek V). Oftewel, > .
Laat nu = , dan zal = .
Want : = : (prop 7 uit Boek V).
Ook geldt: : = : (hyp).
Dus : = : (prop 11 uit Boek V).
En dus = (prop 9 uit Boek V).
Laat tot slot < . Dan zal < .
Omdat > en : = : ,
moet > , zoals in het eerste geval.
Dat betekent dat < .
Dus als de eerste dezelfde reden, enzovoort...
Als a : b = c : d en a >, = of < c,
dan b >, = of < d
Want
als a/b = c/d,
a b /b = c b /d,
a = c b /d = c b /d
Als nu a > c, moet b /d > 1, dus b > d,
als a = c, moet b /d = 1, dus b = d en
als a < c, moet b /d < 1, dus b < d
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als 
tot 
dezelfde ratio heeft als 
tot 
,
en >, = of < , dan is >, = of < .
Laat : = : en laat > .
Daar > en een andere hoeveelheid is,
moet : > : (prop 8 uit Boek V).
Ook geldt: : = : en
daarom : > : (prop 13 uit Boek V).
Nu geldt dat dat wat tot hetzelfde een grotere ratio heeft is minder.
Dus < , oftewel > (prop 10 uit Boek V).
Op dezelfde wijze is te bewijzen dat
als = , dan = en
als < , dan < .
Daarom geldt: Als tot dezelfde ratio heeft enzovoort.