Versie Oliver Byrne
Hoeveelheden hebben dezelfde ratio tot elkaar als
hun gelijke veelvouden tot elkaar hebben.
Laat 
en 
twee hoeveelheden zijn;
dan : = M' : M' .
Want : = : =
: =
:
Dus : = 4 : 4 (prop 12 uit Boek V).
Dezelfde redenatie is algemeen toepasbaar.
Dus : = M' : M' .
Dus hoeveelheden hebben dezelfde reden, enzovoort...
Voor twee willekeurige getallen a en b geldt:
a : b = p a : p b
Want a/b =
p/p a/b =
p a/p b
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Delen hebben dezelfde ratio tot elkaar als hun gelijke veelvouden tot elkaar hebben.
Laat 
dezelfde veelvoud van 
zijn als 
is van 
.
Daar dezelfde veelvoud van is als is van ,
past net zo vaak in als in past.
Verdeel in delen gelijk aan en
verdeel in delen gelijk aan .
Dan is het aantal delen van gelijk aan het aantal delen van .
En daar deel 1 van = deel 2 van = deel 3 van en
ook deel 1 van = deel 2 van = deel 3 van ,
moet deel 1 van : deel 1 van =
deel 2 van : deel 2 van =
deel 3 van : deel 3 van (prop 7 uit Boek V).
Dus is één van de voorgangers tot één van de opvolgers als
de som van de voorgangers tot de som van de opvolgers.
Oftewel, deel 1 van : deel 1 van = : .
Nu geldt: deel 1 van = en deel 1 van = ,
dus : = : (prop 12 uit Boek V).
Daarom geldt: Delen hebben dezelfde ratio enzovoort.