Versie Oliver Byrne
Als vier hoeveelheden van dezelfde soort proportionelen zijn,
zijn ze ook proportionelen na verwisseling.
Laat 
: 
= 
: 
.
Dan : = : .
Want M : M = : (prop 15 uit Boek V).
En M : M = : (hyp en prop 11 uit Boek V).
Ook geldt: m : m = : (prop 15 uit Boek V).
Dus M : M = m : m (prop 14 uit Boek V).
En dus als M >, = of < m ,
dan M >, = of < m (prop 14 uit Boek V).
Daarom moet : = : (def 5 uit Boek V).
Dus vier hoeveelheden van dezelfde soort, enzovoort...
Als a : b = c : d,
dan a : c = b : d.
Want als a/b = c/d
dan a/b b/c = c/d b/c
dus a b/b c = c b/d c
en daarom a/c = b/d
zie ook def 12 uit Boek V
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als vier hoeveelheden proportioneel zijn, zijn ze ook verwisseld proportioneel.
Oftewel, als 
: 
= 
: 
,
dan : = : .
Neem gelijke veelvouden 
en 
van en en
neem andere gelijke veelvouden 
en 
van en
(def 12 uit Boek V).
Omdat dezelfde veelvoud van is als van en
delen dezelfde ratio tot elkaar hebben als hun gelijke veelvouden,
moet : = : (prop 15 uit Boek V).
Maar : = : ,
dus : = : (prop 11 uit Boek V).
Weer, daar en gelijke veelvouden van en zijn,
moet : = : (prop 15 uit Boek V).
Maar : = : ,
dus : = : (prop 11 uit Boek V).
Maar als vier hoeveelheden proportioneel zijn en de eerste >, = of < de derde,
dan is de tweede >, = of < de vierde (prop 14 uit Boek V).
Dus als >, = of < , dan ook >, = of < .
Nu en gelijke veelvouden van en zijn en
en andere gelijke veelvouden van en zijn,
moet : = : (def 5 uit Boek V).
Daarom geldt: Als vier hoeveelheden proportioneel enzovoort.