Versie Oliver Byrne

Van de rechthoeken omvat door de segmenten van een gegeven lijnstuk,
is het vierkant beschreven op het halve lijnstuk het grootst.

Laat het gegeven lijnstuk zijn.

Laat en ongelijke segmenten zijn

en en gelijke segmenten.

Dan geldt: > .

Want al is aangetoond (prop 5 uit Boek II),

dat het vierkant op het halve lijnstuk gelijk is
aan de rechthoek omvat door twee ongelijke segmenten samen met
het vierkant op het deel tussen het middelpunt en het punt tussen de ongelijke delen.

Het vierkant op het halve lijnstuk overschrijdt daarom
de rechthoek omvat door enig ongelijk deel van de lijn.

QED

Het maximum voor de uitdrukking a x − x² ligt bij x = _^a/2.
Het maximum is dan y = _^a2/4.
Hierin is:

• a =
• x =
• y =

Figuur propositie 27a

Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne

Van alle parallelogrammen toegepast op
waarbij het parallellogram dat overblijft gelijkvormig is aan en
hetzelfde gesitueerd is als ,
is dat parallelogram het grootst
dat is toegepast op de helft van lijnstuk () en
dat gelijkvormig is aan .

Deel doormidden in .

Construeer op het parallellogram ,

waarbij overblijft op de helft van , dat is .

Construeer op , waarbij overblijft,
gelijkvormig met en hetzelfde gesitueerd als .

Daar gelijkvormig is met ,

liggen ze om dezelfde diagonaal (prop 26 uit Boek VI).

Omdat = en gemeenschappelijk is,

geldt: = (prop 43 uit Boek I).

Ook geldt: = ,

want = (prop 36 uit Boek I).

Daarom geldt ook: = .

Voeg toe aan beide.

Dan geldt: = ,

zodat = > .

Dus, van alle parallelogrammen enzovoort.

QED

Het maximum voor de uitdrukking a x − p x² ligt bij x = _^a/2p.
Het maximum is dan y = _{^a2/4 p}.
Hierin is:

• a =
• p = :
• x =
• y =

Zie ook hier

Figuur propositie 27b

vorige / volgende