Een rechte lijn (
) die twee parallelle rechte lijnen snijdt (
en 
),
maakt de binnenhoek bij de ene lijn even groot als
de binnenhoek aan de andere zijde van de snijdende lijn bij de andere lijn
(Z-hoeken, 
= 
),
maakt ook de externe hoek even groot als
de interne bij de andere lijn aan dezelfde zijde van de snijdende lijn
(F-hoeken, 
= )
maakt de twee interne hoeken aan dezelfde zijde even groot als twee rechte hoeken
+ 
= 
)
Want als de Z-hoeken en niet even groot zijn,
teken dan 
, met 
= (prop 23).
Dan moet 
// (prop 27) en
en dus moeten twee rechte lijnen ( en ) die elkaar snijden
parallel zijn aan dezelfde rechte lijn ().
Maar dat is onmogelijk (ax 12).
Oftewel, de Z-hoeken en zijn niet even groot.
En dat betekent dat de ze even groot zijn.
Ook geldt: = (prop 15).
Dus = ,
de externe hoek is gelijk aan
de interne hoek bij de andere lijn aan dezelfde zijde van de snijdende lijn (F-hoeken).
Als wordt toegevoegd aan beide,
dan + = 
= (prop 13).
Dat wil zeggen, de twee interne hoeken aan dezelfde zijde van de snijdende lijn zijn
gelijk aan twee rechte hoeken.
QED
Over evenwijdigheid: weer Z- en F-hoeken