In een gegeven driehoek een cirkel inschrijven.

Verdeel en in twee gelijke hoeken met en .

Teken , en vanuit het punt waar deze lijnen elkaar snijden,

loodrecht op respectievelijk , en .

In en geldt:

= , = en is gemeenschappelijk.

Dus = (prop 4 en prop 26 uit Boek I).

Op dezelfde wijze is aan te tonen dat = .

Dus = = .

Beschrijf daarom met één van deze lijnen als straal en

deze zal door de uiteinden van de andere twee gaan.

En de zijden van de gegeven driehoek, die loodrecht op de stralen staan en door de uiteinden van de stralen gaan, zullen de cirkel raken (prop 16 uit Boek III).

Daarom is deze cirkel ingeschreven in de gegeven driehoek.

QED

vorige / volgende

In driehoek ingeschreven cirkel
(omdat ieder punt op bissectrice zelfde afstand heeft tot
de benen van de hoek die hij doormidden deelt én
de bissectrices door één punt gaan)
 

Figuur propositie 4