Versie Oliver Byrne
Als een hele hoeveelheid is tot het geheel als
een hoeveelheid genomen van de eerste is tot een hoeveelheid genomen van de andere,
dan zal de rest zijn tot de rest als het geheel tot het geheel.
Laat (
+ 
) : (
+ 
) = : . Dan zal : = ( + ) : ( + ).
Want ( + ) : = ( + ) + (alter).
Dus : = : (divid).
Weer : = : (alter).
Maar ( + ) : ( + ) = : (hyp).
Daarom : = ( + ) : ( + ) (prop 11 uit Boek V).
Dus als een hele hoeveelheid is tot het geheel, enzovoort...
Als (a + b) : (c + d) = a : c, dan (a + b) : (c + d) = b : d
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als een geheel 
: een geheel 
=
afgetrokken deel 
: afgetrokken deel 
,
dan verhouden de delen die overblijven (
en 
) zich ook als
het geheel tot het geheel.
Daar : = : ,
geldt na verwisseling: : = : (prop 16 uit Boek V).
En daar de hoeveelheden samengenomen proportioneel zijn,
zijn ze ook apart genomen proportioneel.
Dat wil zeggen: : = : en
verwisseld: : = : (prop 17 en prop 16 uit Boek V).
Ook geldt: : = : (hyp).
Dus moet : = = (prop 11 uit Boek V).
Daarom geldt: Als een geheel enzovoort.