Versie Oliver Byrne
Als hoeveelheden apart genomen, proportionelen zijn,
zullen ze ook proportionelen zijn wanneer ze samen genomen worden:
dat betekent, als de eerste is tot de tweede als de derde tot de vierde,
zullen de eerste en de tweede samen tot de tweede zijn als
de derde en vierde samen tot de vierde.
Laat 
: 
= 
: 
,
dan ( + ) : = ( + ) : .
Zo niet, laat dan ( + ) : = ( : 
) : .
Dat geeft M + M > m + M .
Veronderstel nu dat is niet .
Dus : = : (prop 17 uit Boek V).
Ook geldt: : = : (hyp).
Dus : = : (prop 11 uit Boek V).
Daarom moet M = (prop 9 uit Boek V), wat strijdig is met de veronderstelling.
Dus is niet ongelijk aan .
Dat betekent = .
Dus + : = + : .
Dus als hoeveelheden apart genomen, enzovoort...
Als a : b = c : d, dan (a + b) : b = (c + d) : d
zie ook def 14 uit Boek V
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als hoeveelheden apart proportioneel zijn, zijn ze ook samengenomen proportioneel.
Laat 
, 
, 
en 
apart proportioneel zijn,
zodat : = : (def 15def 15 uit Boek V).
Nu moet 
: = 
: (def 14 uit Boek V).
Zou : ≠ : ,
dan moet : = : iets > of < .
Laat iets eerst < . Neem 
.
Omdat : = : ,
moeten de hoeveelheden samengenomen proportioneel zijn,
zodat ze ook apart genomen proportioneel zijn.
Daarom moet : = 
: (prop 17 uit Boek V).
Ook geldt: : = : (hyp).
Daarom = = : (prop 11 uit Boek V).
Daar de eerste > de derde ,
moet de tweede > (prop 14 uit Boek V).
Maar hij is ook minder, wat onmogelijk is.
Daarom moet gelden: : ≠ : iets < .
Op dezelfde wijze is te bewijzen dat : = : iets > .
Dus moet : = : .
Daarom geldt: Als hoeveelheden apart proportioneel enzovoort.