Versie Oliver Byrne
Als hoeveelheden samen genomen, proportionelen zijn,
zullen ze ook proportionelen zijn wanneer ze apart genomen worden:
dat betekent, als twee hoeveelheden samen tot één van de twee dezelfde ratio hebben
als twee andere hebben tot één van die twee,
zal het verschil van de eerste twee tot de andere dezelfde ratio hebben
als het verschil van de laatste twee heeft tot de ander van deze.
Laat (
+ 
) : = (
+ 
) : ,
dan : = : .
Neem M > m en voeg aan beide M toe.
Dat geeft M + M > m + M
of M ( + ) > (m + M) .
Omdat ( + ) : = ( + ) : (hyp)
en M ( + ) > (m + M) ,
moet M ( + ) > (m + M) (def 5 uit Boek V).
Dus M + M > m + M .
Dat geeft: M > m , door M af te nemen van beide kanten.
Dat betekent, als M > m , dan M > m .
Op dezelfde wijze is te bewijzen dat als
M = of < m , dan zal M = of < m .
En dus : = : (def 5 uit Boek V).
Dus als hoeveelheden samen genomen, enzovoort...
Als (a + b) : b = (c + d) : d, dan a : b = c : d.
Anders gesteld: als p : q = r : s, dan (p − q) : q = (r − s) : s
zie ook def 15 uit Boek V
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als samengenomen hoeveelheden proportioneel zijn, dan zijn ze ook apart proportioneel.
Laat 
, 
, 
en 
samengenomen proportioneel zijn,
zodat : = : (prop 14 uit Boek V).
Neem gelijke veelvouden 
, 
, 
en 
van 
, , 
en .
En neem andere gelijke veelvouden 
en 
van en .
Omdat dezelfde veelvoud van is als is van ,
moet dezelfde veelvoud zijn van als 
is van
(prop 1 uit Boek V).
Verder is dezelfde veelvoud van als is van ,
dus is dezelfde veelvoud van als is van .
Daar dezelfde veelvoud van is als van ,
moet dezelfde veelvoud van zijn als 
is van
(prop 1 uit Boek V).
Nu dezelfde veelvoud is van als is van ,
geldt: is dezelfde veelvoud van als is van .
Daarom zijn en gelijke veelvouden van en is van .
Omdat dezelfde veelvoud van is als is van
en ook dezelfde veelvoud is van als is van ,
moet de som 
dezelfde veelvoud van zijn als 
is van
(prop 2 uit Boek V).
En omdat : = :
en van en gelijke veelvouden en genomen zijn
alsmede van en gelijke veelvouden en ,
moet als >, = of < , ook >, = of < .
Laat > en
trek van beide af.
Dan moet > .
Nu > , dan > ,
moet > en als van beide wordt afgetrokken,
dan > ,
zodat als > en dan ook > .
Op dezelfde wijze is te bewijzen dat
als = of < , dan = of < .
En en zijn gelijke veelvouden van en ,
terwijl en andere gelijke veelvouden zijn van en .
Dus : = : (def 5 uit Boek V).
Daarom geldt: Als samengenomen hoeveelheden proportioneel enzovoort.