Versie Oliver Byrne
Als de eerste tot de tweede dezelfde reden heeft die de derde tot de vierde heeft,
en de vijfde tot de tweede dezelfde als de zesde tot de vierde,
dan hebben de eerste en vijfde samen tot de tweede dezelfde ratio
als de derde en zesde samen hebben tot de vierde.
Eerste | Tweede | Derde | Vierde |
Vijfde | Zesde |
Laat : = : en : = : .
Dan geldt: ( + ) : = ( + ) : .
Want : = : (hyp) en : = : (hyp en invert),
dus : = : (prop 22 uit Boek V).
En omdat deze hoeveelheden proportionelen zijn,
zijn de proportionelen als ze samengenomen worden.
Dus ( + ) : = ( + ) : (prop 18 uit Boek V).
Ook geldt: : = : (hyp).
Daarom geldt: ( + ) : = ( + ) : (prop 22 uit Boek V).
Dus als de eerste, enzovoort...
Als a : b = c : d en e : b = f : d, dan a + e : b = b + f : d
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als de eerste 
tot de tweede 
dezelfde ratio heeft als
de derde 
tot de vierde 
,
en ook de vijfde 
heeft tot de tweede dezelfde ratio als
de zesde 
tot de vierde ,
dan heeft de som van de eerste en de vijfde ( + ) tot de tweede
dezelfde ratio als de som van de derde en de zesde ( + ) heeft
tot de vierde .
Laat : = : en
laat ook : = : .
Daar : = :
geldt omgekeerd dat : = : (cor in prop 7 uit Boek V).
Omdat : = : en
: = : ,
moet ex equo : = = (prop 22 uit Boek V).
En, daar de hoeveelheden apart genomen proportioneel zijn,
zijn ze ook samengenomen proportioneel.
Dus 
: = 
: (prop 18 uit Boek V).
Ook geldt: : = : .
Dus ex equo geldt: : = : (prop 22 uit Boek V).
Daarom geldt: Als de eerste tot de tweede enzovoort.