Versie Oliver Byrne
Als vier hoeveelheden van dezelfde soort proportionelen zijn,
dan zijn de grootste en kleinste samen groter dan de andere twee samen.
Laat vier hoeveelheden (
+ 
), (
+ 
), , en van dezelfde soort
proportionelen zijn, dat wil zeggen: ( + ) : ( + ) = : .
En laat + de grootste zijn van de vier.
Dan is de kleinste (prop A en prop 14 uit Boek V).
Dan zal + + > + + .
Omdat ( + ) : ( + ) = : ,
moet : = ( + ) : ( + ) (prop 19 uit Boek V).
Ook geldt: ( + ) > ( + (hyp).
Dus > (prop A uit Boek V).
Voeg aan ieder van deze + toe.
Dan + + > + + .
Dus als vier hoeveelheden, enzovoort...
Als a : b = c : d,
a > b, c en d en
d < a, b en d,
dan a + d > b + c
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als vier hoeveelheden proportioneel zijn (
: 
= 
: 
),
dan is de som van de grootste () en de kleinste ()
groter dan de som van de resterende twee ( + ).
Maak 
= en 
= .
Daar : = : ,
= en = ,
moet : = : (prop 7 en prop 11 uit Boek V).
En daar
het geheel : het geheel = het deel eraf : het deel eraf ,
moet de rest 
: de rest 
= het geheel : het geheel
(prop 19 uit Boek V).
Ook geldt: > , dus > (def 5 uit Boek V).
Omdat = en = ,
moet + = + .
En als > ,
wordt + toegevoegd aan ,
terwijl + wordt toegevoegd aan ,
moet + > + .
Daarom geldt: Als vier hoeveelheden proportioneel zijn enzovoort.