Versie Oliver Byrne

Als er een aantal hoeveelheden is en net zoveel andere, die twee aan twee genomen in gekruiste volgorde, dezelfde reden hebben; dan zal de eerste tot de laatste van de eerste hoeveelheden dezelfde reden hebben die de eerste van de andere heeft tot de laatste van deze.

N Dit wordt normaal gesproken aangeduid met de woorden 'ex aequali in proportione perturbatâ' of 'ex aequo perturbato'.

Neem eerst de hoeveelheden , en zijn en net zoveel andere , en ,

die twee aan twee genomen in gekruiste volgorde dezelfde ratio hebben.

Dat is : = : en : = : .

Dan zal : = : .

Laat deze hoeveelheden en hun respectieve gelijke veelvouden als volgt gerangschikt zijn:

, , , , en alsmede M , M , m , M , m , m .

Dan geldt: : = M : M (prop 15 uit Boek V).

En om dezelfde reden : = m : m .

Ook geldt: : = : (hyp).

Dus M : M = : (prop 11 uit Boek V).

En omdat : = : (hyp),
moet M : m = M : m (prop 4 uit Boek V).

Omdat er drie hoeveelheden zijn, M , M , m

en drie andere M , m , m ,

die twee aan twee genomen in gekruiste volgorde dezelfde reden hebben,

geldt: als M >, = of < m , dan zal M >, = of < m (prop 21 uit Boek V).

En dus geldt: : = : (prop 5 uit Boek V).

Laat er nu vier hoeveelheden zijn: , , en en vier andere: , , en ,

die twee aan twee in gekruiste volgorde genomen dezelfde ratio hebben.

Dat wil zeggen: : = : , : = : en : = : .

Dan zal : = : .

Omdat , en drie hoeveelheden zijn en , en drie andere,
die twee aan twee genomen in gekruiste volgorde dezelfde ratio hebben,

moet als in het eerste geval gelden: : = : .

Ook geldt: : = : .

En daarom geldt weer als in het eerste geval: : = : .

En zo verder, wat het aantal hoeveelheden ook is.

Dus als er een aantal hoeveelheden, enzovoort...

Als Als a : b = e : f en b : c = d : e, dan a : c = d : f

zie ook def 18 uit Boek V

Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne

Als er drie hoeveelheden zijn en evenveel andere hoeveelheden,
die twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben,
en de volgorde wordt omgedraaid
( : = : en : = : ) (def 18 uit Boek V),
dan hebben ze ook ex equo dezelfde ratio ( : = : ).

Neem gelijke veelvouden , en
van , en en
neem andere gelijke veelvouden van , en
van , en .

Omdat en gelijke veelvouden van en zijn en
delen dezelfde ratio tot elkaar hebben als hun veelvouden,
moet : = : (prop 15 uit Boek V).

Om dezelfde reden geldt: : = : .

Voorts geldt: : = : .

Dus moet : = : (prop 11 uit Boek V).

Omdat : = : ,
moet verwisseld gelden: : = : (prop 16 uit Boek V).

En daar en gelijke veelvouden van en zijn en
delen tot elkaar dezelfde ratio hebben als hun gelijke veelvouden,
moet : = : (prop 15 uit Boek V).

Ook geldt : = : .

Dus ook : = : (prop 11 uit Boek V).

En omdat en gelijke veelvouden van en zijn,
moet : = : (prop 15 uit Boek V).

Verder geldt: : = : ,
dus ook : = : .

Verwisseling geeft: : = : (prop 16 uit Boek V).

Ook is bewezen dat : = : .

Daar drie hoeveelheden , en en
evenveel andere hoeveelheden , en ,
die twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben bij omkering van de volgorde,
moet ex equo gelden:
als >, = of < , >, = of < (prop 21 uit Boek V).

Bovendien zijn en gelijke veelvouden van en .

Net zoals en van en .

Dus geldt: : = : (def 5 uit Boek V).

Daarom geldt: Als er drie hoeveelheden zijn en evenveel enzovoort.

Figuur propositie 23

vorige / volgende