Propositie 22 Stelling

Versie Oliver Byrne

Als er een aantal hoeveelheden is en net zoveel andere,
die twee aan twee genomen in volgorde, dezelfde ratio hebben,
dan zal de eerste tot de laatste van de eerste hoeveelheden dezelfde ratio hebben
als de eerste van de andere heeft tot de laatste van deze.

Nbl lijn Dit wordt normaal gesproken aangeduid met de woorden 'ex aequali', of 'ex aequo'.

 

Laat er de hoeveelheden ro5hoek, blruit en ge4kant zijn en net zoveel andere roruit, bldrup en gerond,

zodat ro5hoek : blruit = roruit : bldrup en blruit : ge4kant = bldrup : gerond, dan zal ro5hoek : ge4kant = roruit : gerond.


Neem van ro5hoek, blruit, ge4kant, roruit, bldrup en gerond

de gelijke veelvouden M ro5hoek, m blruit, N ge4kant, M roruit, m bldrup en N gerond.

Omdat ro5hoek : blruit = roruit : bldrup, moet M ro5hoek : m blruit = M roruit : m bldrup (prop 4 uit Boek V).


Om dezelfde reden geldt: m blruit : N gerond = m bldrup : N gerond.

En omdat er drie hoeveelheden zijn M ro5hoek, m blruit, N ge4kant,
en drie andere M roruit, m bldrup, N gerond,
die twee aan twee genomen dezelfde reden hebben,

moet gelden: als M ro5hoek >, = of < N ge4kant.


En dan zal M roruit >, = of < N gerond (prop 20 uit Boek V).

En dus ro5hoek : ge4kant = roruit : gerond (def 05 uit Boek V).


Laat er nu vier hoeveelheden zijn, bl5hoek, zwruit, geboom en roruit en

vier andere bldrup, zwrond, geboog en ro3hoek en

laat die twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben.

Dat wil zeggen: bl5hoek : zwruit = bldrup : zwrond, zwruit : geboom = zwrond : geboog en geboom : roruit = geboog : ro3hoek.

Dan zal bl5hoek : roruit = bldrup : ro3hoek.


Omdat bl5hoek, zwruit en geboom drie hoeveelheden zijn en bldrup, zwrond, geboog drie andere,

die twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben.

geldt net als in voorgaand geval: zwruit : geboom = bldrup : geboog.


Ook geldt: geboom : roruit = geboog : ro3hoek.

En daarom geldt weer als in het eerste geval: bl5hoek : roruit = bldrup : ro3hoek.


En zo verder, wat het aantal hoeveelheden ook is.


Dus als er een aantal hoeveelheden is, enzovoort...

Als a : b = d : e en b : c = e : f, dan a : c = d : f


zie ook def 18 uit Boek V

Naar de versie van David E. Joyce la Byrne

Als een willekeurig aantal hoeveelheden en evenveel andere hoeveelheden,
twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben
(ge lijn : bl lijn = ge dun : bl dun en bl lijn : ro lijn = bl dun : ro dun),
dan hebben ze ook ex equo dezelfde ratio (ge lijn : ro lijn = ge dun : ro dun).


Neem gelijke veelvouden ge stlijn en ge ptlijn van ge lijn en ge dun,
neem andere gelijke veelvouden bl stlijn en bl ptlijn van bl lijn en bl dun en
neem nog andere gelijke veelvouden ro stlijn en ro ptlijn van ro lijn en ro dun .


Omdat ge lijn : bl lijn = ge dun : bl dun en
van ge lijn en ge dun gelijke veelvouden ge stlijn en ge ptlijn genomen zijn en
van bl lijn en bl dun andere gelijke veelvouden bl stlijn en bl ptlijn,
moet ge stlijn : bl stlijn = ge ptlijn : bl ptlijn (prop 4 uit Boek V).


Om dezelfde reden geldt ook: bl stlijn : ro stlijn = bl ptlijn : ro ptlijn .


Daar ge stlijn, bl stlijn en ro stlijn en
ge ptlijn, bl ptlijn en ro ptlijn twee aan twee gelijke veelvouden zijn,
die twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben,
moet ex equo als ge stlijn >, = of < ro stlijn,
dan ge ptlijn >, = of < ro ptlijn (prop 20 uit Boek V).


En ge stlijn en ge ptlijn zijn gelijke veelvouden van ge lijn en ge dun en
ro stlijn en ro ptlijn zijn andere gelijke veelvouden van ro lijn en ro dun.

Dus ge lijn : ro lijn = ge dun : ro dun (def 5 uit Boek V).


Daarom geldt: Als een willekeurig aantal hoeveelheden enzovoort.

Figuur propositie 22

vorige / volgende