Versie Oliver Byrne
Als er een aantal hoeveelheden is en net zoveel andere,
die twee aan twee genomen in volgorde, dezelfde ratio hebben,
dan zal de eerste tot de laatste van de eerste hoeveelheden dezelfde ratio hebben
als de eerste van de andere heeft tot de laatste van deze.
N
Dit wordt normaal gesproken aangeduid met de woorden 'ex aequali', of 'ex aequo'.
Laat er de hoeveelheden 
, 
en 
zijn en net zoveel andere 
, 
en 
,
zodat : = :
en : = : ,
dan zal : = : .
Neem van , , , , en
de gelijke veelvouden M , m , N , M , m en N .
Omdat : = : ,
moet M : m = M : m (prop 4 uit Boek V).
Om dezelfde reden geldt: m : N = m : N .
En omdat er drie hoeveelheden zijn M , m , N ,
en drie andere M , m , N ,
die twee aan twee genomen dezelfde reden hebben,
moet gelden: als M >, = of < N .
En dan zal M >, = of < N (prop 20 uit Boek V).
En dus : = : (def 05 uit Boek V).
Laat er nu vier hoeveelheden zijn, 
, 
, 
en en
vier andere , 
, 
en 
en
laat die twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben.
Dat wil zeggen: : = : ,
: = : en
: = : .
Dan zal : = : .
Omdat , en drie hoeveelheden zijn en
, , drie andere,
die twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben.
geldt net als in voorgaand geval: : = : .
Ook geldt: : = : .
En daarom geldt weer als in het eerste geval: : = : .
En zo verder, wat het aantal hoeveelheden ook is.
Dus als er een aantal hoeveelheden is, enzovoort...
Als a : b = d : e en b : c = e : f, dan a : c = d : f
zie ook def 18 uit Boek V
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als een willekeurig aantal hoeveelheden en evenveel andere hoeveelheden,
twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben
(
: = 
: 
en : 
= : 
),
dan hebben ze ook ex equo dezelfde ratio ( : = : ).
Neem gelijke veelvouden 
en 
van en ,
neem andere gelijke veelvouden 
en 
van en en
neem nog andere gelijke veelvouden 
en 
van en .
Omdat : = : en
van en gelijke veelvouden en genomen zijn en
van en andere gelijke veelvouden en ,
moet : = : (prop 4 uit Boek V).
Om dezelfde reden geldt ook: : = : .
Daar , en en
, en twee aan twee gelijke veelvouden zijn,
die twee aan twee genomen dezelfde ratio hebben,
moet ex equo als >, = of < ,
dan >, = of < (prop 20 uit Boek V).
En en zijn gelijke veelvouden van en en
en zijn andere gelijke veelvouden van en .
Dus : = : (def 5 uit Boek V).
Daarom geldt: Als een willekeurig aantal hoeveelheden enzovoort.