Pythagoras

De stelling van Pythagoras

Hieronder staan links naar geogebramateriaal. Open dit door op de link te klikken.
Daarna kan je in de app bladeren door de schuifknop 'stap' te gebruiken. Grote punten kan je verslepen en zien wat dat voor effect heeft. Soms kan je met andere schuifknoppen andere aanpassingen doen en achterhalen wat daarvan het effect is.

Figuur 1 Boek I Propositie 47 van Byrne		Figuur 2 Animatie van bewijs van Euclides

Figuur 3 Versie uit Elementen met vierkanten		Figuur 4 Nog een variatie op Elementenversie

Figuur 5 Alle zijden met factor c vermenigvuldigen		Figuur 6 Multatuli

Figuur 7 Bewijs zonder woorden 1		Figuur 8 Bewijs zonder woorden 2

Figuur 9 Bewijs zonder woorden 3		Figuur 10 Bewijs zonder woorden 4

Figuur 11 Bewijs zonder woorden 5		Figuur 12 Bewijs zonder woorden 6

Figuur 13 Bewijs zonder woorden 7		Figuur 14 Bewijs zonder woorden 8

Figuur 15 Algebraïsch met grote vierkant		Figuur 17 Uit de twaalfde eeuw, van Bhaskara

Figuur 16 Algebraïsch met trapezium		Figuur 18 Een andere versie van het trapezium

Figuur 19 Chinees?		Figuur 20 Van Da Vinci?

Figuur 21 Bewijs gebruikmakend van gelijkvormigheid		Figuur 22 Bewijs met een verlengde hoogtelijn

Figuur 23 Gecomprimeerde versie van Euclides 1		Figuur 24 Gecomprimeerde versie van Euclides 2

Figuur 25 Beginnend met willekeurige driehoek		Figuur 26 Gebruikmakend van gelijke raaklijnstukken

Figuur 27 Machtsstelling 1		Figuur 28 Machtsstelling 2

Figuur 29 Machtsstelling 3		Figuur 30 Machtsstelling 4

Figuur 31 Propositie 31 uit Boek VI, met rechthoeken		Figuur 32 Gelijkvormige driehoeken en propositie 31 uit Boek VI

Figuur 33 Met rechthoekige driehoeken 1		Figuur 34 Met rechthoekige driehoeken 2

Figuur 35 Met driehoeken		Figuur 36 Met halve cirkels

Figuur 37 Oefenen met de stelling van Pythagoras		Figuur 38 Vlakvulling 1

Figuur 39 Vlakvulling 2		Figuur 40 Vlakvulling 3

Figuur 41 Vlakvulling 4		Figuur 42 Vlakvulling 5


Mijn blog op nvvw.nl over bewijzen voor de stelling van Pythagoras:			3 januari 2024
De stelling van Pythagoras
In mijn vorige blog verscheen al een bewijs van de stelling van Pythagoras, toen als vlakvulling. Voor deze stelling bestaan veel bewijzen, zoals ook Rob van Oord al memoreerde. Hij beschreef een mooie aanpak met knippen en plakken. Een interessant alternatief is het gebruik van animaties. Ik heb inmiddels een leuk aantal animaties van deze bewijzen verzameld. Al dit materiaal is te vinden via deze pagina. Dit is maar een fractie van de bewijzen die Elisha S. Loomis begin vorige eeuw verzamelde in The Pythagorean Proposition. In dit boek, dat in 1927 verscheen, zijn zo’n 370 bewijzen gecategoriseerd. Op Amazon zag ik een tweedehandsversie voor een kleine 700 dollar te koop staan. Meer toegankelijk is ‘De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras’ van Bruno Ernst, een Epsilon-uitgave. Ook op het web zijn diverse bewijzen terug te vinden, zie bijvoorbeeld Cut the Knot.
			Figuur 1: het bewijs in Euclides' Elementen
In mijn verzameling staat een animatie van het bewijs in Euclides’ Elementen (figuur 1), alsmede van enkele variaties hierop. Euclides gaf dit als slotstuk van Boek I, gevolgd door de omgekeerde stelling van Pythagoras (propositie 47 en 48). De stelling zelf zegt dat in een rechthoekige driehoek geldt \(a^2 + b^2 = c^2\). En de omgekeerde stelling zegt dat als in een driehoek geldt dat \(a^2 + b^2 = c^2\), dan moet de hoek tegenover zijde \(c\) een rechte hoek zijn. In het onderwijs wordt dit onderscheid lang niet altijd scherp gemaakt. Verder zitten er bewijzen zonder woorden in de verzameling, zoals figuur 2 en figuur 3. En ook bewijzen die je als puzzel kan zien, zoals figuur 4 en figuur 5. Dit geeft meer mogelijkheden voor plakken en knippen, zoals Rob van Oord heeft beschreven. De vlakvulling uit mijn vorige blog is van Al-Nayrizi, een Arabische commentator van De Elementen van Euclides uit 900 na Chr. Er bestaan ook andere vlakvullingen, zoals die van Bhaskara (figuur 6). Tot slot wil ik noemen dat ook Multatuli (figuur 7) een bewijs leverde.

Figuur 2	Figuur 3		Figuur 4

Figuur 5	Figuur 6		Figuur 7
Overigens is in De Elementen ook bewezen dat de stelling van Pythagoras ook geldt voor rechthoeken (figuur 8) in plaats van vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek. Immers, als \(a^2 + b^2 = c^2\) waar is, dan is \(p a^2 + p b^2 = p c^2\) ook waar. Je kan ook driehoeken (figuur 9) of halve cirkels (figuur 10) op de zijden zetten, zolang de vormen maar gelijkvormig zijn. Hieronder staan de figuren 8, 9 en 10.

Figuur 8	Figuur 9		Figuur 10
Hoewel deze verzameling er leuk uit ziet, is het wel gepast op te merken dat niet alle bewijzen even wiskundig correct zijn als bewijs voor de stelling van Pythagoras. Zo is figuur 4 op zich geen bewijs. Bij sommige is het de vraag of de stelling niet nodig is als voorkennis voor andere stellingen die gebruikt worden. Dat geldt bijvoorbeeld voor het gebruik van andere figuren op de zijden (figuur 8 tot en met 10). Euclides was hierop in De Elementen behoorlijk streng, al schoten latere commentatoren hier gaten in. Verder wil ik opmerken dat diverse bewijzen variaties op een thema zijn danwel een combinatie van elementen uit andere bewijzen. Zo geeft figuur 3 een gecomprimeerde versie van figuur 11, met de vierkanten naar binnen geklapt. En dat is een variant op het bewijs uit De Elementen (figuur 1).

Figuur 11		Figuur 12
Gebruik dit materiaal gerust bij de introductie van de stelling. Daarna is in de klas oefenmateriaal nodig. Bij examentrainingen in het vmbo heb ik daarvoor deze animatie (figuur 12) gebruikt. Beweeg de hoekpunten voor een nieuwe driehoek en wijzig de namen van de hoekpunten door op ‘nieuwe versie’ te klikken. Begin met het berekenen van de schuine zijde, dan de rechthoekzijden en tot slot door elkaar oefenen. Leerlingen kunnen hiermee ook zelfstandig oefenen of de animatie gebruiken als herhaling van voorkennis bij nieuwe theorie. Op generalisaties, zoals de cosinusregel of gebruik in de ruimte en andere eigenaardigheden wil ik later terugkomen. Ik heb al wat dingen hierover verzameld, maar als je meer voor me hebt, houd ik me aanbevolen. Stuur dan gerust een berichtje. Jeanne Kok Volgende blog: Vorige blog: Meer dan 1000 woorden – 2 – Vlakvullingen Index: Meer dan 1000 woorden – Index
© Jeanne Kok, 2023