Versie Oliver Byrne
Als er drie hoeveelheden zijn, en drie andere,
die twee aan twee genomen, dezelfde ratio hebben,
dan als de eerste groter is dan de derde, zal de vierde groter zijn dan de zesde,
als gelijk, gelijk en als minder, minder.
Laat 
, 
en 
de eerste drie hoeveelheden zijn
en 
, 
en 
drie andere,
zodat : = : en
: = : .
Dan, als >,= of < , zal >, = of < .
De hypothese geeft : = : en
: = : (alter).
Dus : = : (prop 11 uit Boek V).
Daarom geldt: als >,= of < , dan zal >, = of < (prop 14 uit Boek V).
Dus als er drie hoeveelheden zijn, enzovoort...
Als a : b = d : e en b : c = e : f,
dan als a <, = of > c, moet d <, = of > f
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als er drie hoeveelheden zijn en evenveel andere hoeveelheden,
die twee aan twee genomen proportioneel zijn
(
: 
= 
: 
en : 
= : 
),
dan
als >, = of < , dan >, = of < .
Laat > (ex equo).
Daar > en een andere hoeveelheid is
en de grotere tot dezelfde een grotere ratio heeft dan de kleinere heeft,
moet : > : (prop 8 uit Boek V).
Ook geldt: : = : .
Omkering geeft: : = : .
Daarom moet : > :
(cor in prop 7 en prop 13 uit Boek V).
En van de hoeveelheden die dezelfde ratio tot hetzelfde hebben,
is degene met een grotere ratio groter.
Dus > (prop 10 uit Boek V).
Op dezelfde wijze is te bewijzen dat
als = of < , dan ook = of <
Daarom geldt: Als er drie hoeveelheden zijn en evenveel enzovoort.