Versie Oliver Byrne
Als er drie hoeveelheden zijn, en drie andere, die dezelfde reden hebben, twee aan twee genomen; maar in gekruiste volgorde; dan als de eerste hoeveelheid groter is dan de derde, zal de vierde groter zijn dan de zesde; en als gelijk, gelijk; en als minder, minder.
Laat 
, 
en 
de eerste drie hoeveelheden zijn en
, 
en 
de andere drie,
zodat : = : en
: = : .
Dan, als >, = of < , zal >, = of < .
Ten eerste, laat > .
Omdat iedere andere hoeveelheid is,
geldt: : > : (prop 8 uit Boek V).
Ook geldt: : = : (hyp).
Dus : > : (prop 13 uit Boek V).
En omdat : = : (hyp),
moet : = : (inv).
Aangetoond is dat : > : .
Dus : > : (prop 13 uit Boek V).
En dus < . Dat betekent > .
Laat nu = . Dan zal = .
Omdat = , geldt:
: = : (prop 7 uit Boek V).
Verder geldt: : = : (hyp) en
: = : (hyp en inv).
Dus : = : (prop 11 uit Boek V). En dus = (prop 9 uit Boek V).
Laat tot slot < . Dan zal > .
Want nu geldt: > .
En aangetoond is dat : = : en : = : .
Dus als in het eerste geval moet > . Dat betekent < .
Dus als er drie hoeveelheden, enzovoort...
a : b = e : f en b : c = d : e,
dan als a <, = of > c moet d <, = of > f
Naar de versie van David E. Joyce à la Byrne
Als er drie hoeveelheden zijn en evenveel andere hoeveelheden,
die twee aan twee genomen proportioneel zijn in tegenovergestelde volgorde
(
: 
= 
: 
en : 
= 
:
(def 18 uit Boek V), dan
als ex equo >, = of < , dan >, = of < .
Laat > ex equo.
Daar > en een andere hoeveelheid is,
moet : > : (prop 8 uit Boek V).
Ook geldt: : = : .
Omkering geeft: : = : .
Dus : > : (cor in prop 7 en prop 13 uit Boek V).
Nu geldt dat dat tot wat hetzelfde een grotere ratio heeft kleiner is.
Dus < en dus > (prop 10 uit Boek V).
Op dezelfde wijze is te bewijzen dat
als = of < , dan = of < .
Daarom geldt: Als er drie hoeveelheden zijn en enzovoort.